Разработка математической модели теплообменника смешения (стр. 2 из 5)

(1.3)

где

— расход жидкости через сливную трубу 3.

Известно, что расход жидкости при свободном истечении зависит от уровня и с достаточной точностью описывается уравнением

(1.4)

Где

— коэффициент пропорциональности, который зависит от размеров и формы отверстия истечения. Подставим значение в (1.3) и после выполнения необходимых преобразований получим уравнение статической характеристики бака в виде

(1.5)

где

-коэффициент пропорциональности.

Это нелинейное уравнение и график статической характеристики такого объекта (рис. 1.2) также нелинеен. Если в состав САР входит хотя бы один нелинейный элемент, то такая САР также называется нелинейной. Анализ подобных систем чрезвычайно трудоемок, а во многих случаях он вообще невозможен. Поэтому всегда, когда это возможно, стремятся заменить нелинейную математическую модель линейной, которая, хотя и менее точна, но поддается анализу стандартными, хорошо разработанными и относительно простыми методами. Замена нелинейной математической модели более грубой линейной с целью упрощения анализа и синтеза САР называется линеаризацией модели[1].

Рис 1.2.Статическая характеристика напорного бака.

Наиболее простым является метод графической линеаризации, который применяется в тех случаях, когда статическая характеристика имеет вид плавной кривой. Линеаризация заключается в замене линейного участка характеристики в пределах возможного изменения входного и выходного параметров объекта прямой, касательной к статической характеристике в точке заданного режима работы. Рассмотрим применение этого метода на примере линеаризации характеристики напорного бака (рис. 1.2).

Предположим, что в баке должно поддерживаться заданное значение уровня

с точностью . Следовательно, рабочим участком статической характеристики служит криволинейный отрезок CAD, в середине которого находится рабочая точка А. Заменим его отрезком CAD' прямой, касательной к статической характеристике в рабочей точке, который и будет линеаризованной статической характеристикой данного объекта регулирования. Погрешность такой аппроксимации будет тем больше, чем больше отрезки СС и DD', которые зависят от кривизны истинной статической характеристики в окрестностях точки А и допустимого диапазона изменения регулируемого параметра (т. е. величины рабочего участка характеристики). Следует отметить, что если в процессе работы САР регулируемый параметр по каким-либо причинам выйдет за пределы рабочего участка статической характеристики, принятые при линеаризации, то это может привести к существенному ухудшению качества регулирования.

Математической основой данного метода линеаризации является разложение функции, описывающей статическую характеристику, в ряд Тейлора по малым приращениям входного сигнала

иограничением ряда линейным членом. Проиллюстрируем возможности этого метода на том же примере напорного бака. Разложение функции (1.5) в ряд Тейлора по малым приращениям параметра в окрестностях рабочей точки (т. е. при ) имеет вид

(1.6)

Пренебрегая членами ряда, в которые входит сомножитель

во второй и более высокой степени, и обозначая получим линеаризованное статической характеристики бака

(1.7)

(1.8)

Графически это уравнение соответствует отрезку прямой CAD' па рис. 1.2.

Кроме статических, существуют объекты регулирования, у которых при работе в статическом режиме отсутствует однозначная зависимость между входным и выходным сигналами. Такие объекты называются астатическими.

Примером простейшего астатического объекта регулирования может служить бак, из которого жидкость откачивается насосом постоянной производительности (рис. 1.3). У такого объекта состояние равновесия возможно только в одном случае — когда приток жидкости в бак равен производительности насоса.

Рис 1.3.Астатический обьект регулирования(1-регулирующий клапан,2-бак,3-насос постоянной производительности)

Статический режим работы, который рассматривался выше, не характерен для промышленных объектов регулирования. Гораздо чаще приходится иметь дело с динамическим режимом, который возникает всякий раз при нарушении равновесия между притоком и стоком вещества или энергии в объекте. В реальных условиях эксплуатации, когда на объект регулирования все время воздействуют различные возмущения, динамический режим является характерным режимом работы. Поэтому изучение динамических свойств объекта, т. е. определение его динамической характеристики, составляет главную задачу при анализе САР.

Существуют два метода определения характеристик промышленных объектов регулирования.

1. Аналитический, когда на основании главных физико-химических закономерностей, определяющих ход технологического процесса в данном объекте, составляется уравнение математической модели объекта. Этот метод удобен тем, что при его использовании получаются уравнения, в которые входят основные параметры технологического процесса и применяемого оборудования. Поэтому наглядно видна связь этих параметров с характеристикой объекта и пути улучшения последней в случае необходимости.

Математическую модель, полученную аналитическим методом, можно распространить на объекты с аналогичными технологическим процессом и конструкцией оборудования (с учетом их индивидуальных особенностей).

Недостатки аналитического метода — его сложность и трудоемкость, из-за чего в широкой практике автоматизации он применяется сравнительно редко. Однако в последнее время интерес к этому методу увеличился в связи со все более широким распространением вычислительных машин, использование которых позволяет резко повысить производительность труда при выполнении расчетов.

2. Экспериментально-аналитический, когда статическая и динамическая характеристики объекта регулирования определяются путем механической обработки результатов экспериментов, поставленных на исследуемом объекте по определенной методике.

Этот метод менее трудоемок, не требует детального изучения физико-химических закономерностей, определяющих работу объекта, не может быть осуществлен персоналом относительно невысокой квалификации. Полученные при этом результаты достаточно точны для большинства практических случаев, поэтому экспериментально-аналитический метод широко используется на практике. Его недостаток заключается в том, что математическая модель, полученная экспериментально, справедлива только для обследованного объекта и не может быть использована при изучении других объектов, даже близких к нему по технологии и аппаратурному оформлению[3].

1.2 Аналитическое определение характеристик объектов регулирования

При использовании аналитического метода определения характеристик объектов регулирования за основу берут уравнения материального и энергетического баланса объекта. Если необходимо определить статическую характеристику, то уравнение баланса составляют для статического (установившегося) режима работы объекта. Типичным примером является вывод уравнения статической характеристики напорного бака (пункт 1) на основе уравнения его материального баланса.

При определении аналитическим методом динамической характеристики объекта регулирования также составляют уравнения баланса, но для динамического (неустановившегося) режима работы объекта. Эти уравнения выражают связь скорости изменения регулируемого параметра с величиной материального или энергетического разбаланса, когорый является причиной возникновения динамического режима работы объекта.

Пример 1

Определить характеристики теплообменника смешения (рис. 1.4) как объекта регулирования температуры. Теплообменник является смесителем непрерывного действия, в который поступают два потока одинаковой по физическим свойствам жидкости (т. е. с одинаковой теплоемкостью

иплотностью ).

Первый поток имеет постоянный расход.

ипеременную температуру . Второй поток жидкости имеет постоянную температуру , а расход его поддерживается на таком уровне, чтобы температура жидкости, выходящей из смесителя, была равна постоянной заданной величине . Следовательно, для данного объекта возмущающим воздействием служит изменение температуры первого потока, регулирующим воздействием является изменение расхода второго потока , а регулируемым параметром-отклонение температуры выходящего потока от заданного значения.