Разработка математической модели теплообменника смешения (стр. 3 из 5)

Чтобы упростить вывод уравнения статической и динамической характеристики, примем следующие допущения:cмеситель снабжен теплоизоляцией, так чтобы тепловыми потерями в окружающую среду можно было пренебречь; температура жидкости во всем объеме смесителя одинакова( смеситель идеального перемешивания) и равна температуре выходящего потока; расход

(1.9)

Для определения статической характеристикисоставим уравнение теплового баланса смесителя в установившемся режиме

Таблица1.1

0.25	0.33	50	35	40	3.2	800	0.25	0.64

(1.10)

Откуда с учетом условия (1.9) получим линеаризованное уравнение статической характеристики в виде.

(1.11)

Рис 1.4.Теплоабменник смешения как объект регулирования температуры.

При нарушении равновесия между притоком и стоком тепла в смеситель за малый промежуток времени

поступает некоторое дополнительное количество тепла . В результате изменяется температура жидкости в смесителе и температура выходящего потока на величину . Величина теплового разбаланса определяется зависимостью

Где

— дополнительное количество тепла, внесенное в смеситель первым потоком при изменении его температуры на ;

— дополнительное количество тепла, внесенное в смеситель вторым потоком при изменении его расхода на ;

— дополнительное количество тепла, вынесенное

из смесителя выходящим потоком при изменении температуры жидкости в смесителе на величину

.

Учитывая условие (1.9), выражение для

можно упростить:

(1.12)

Изменение температуры жидкости в смесителе, вызванное разбалансом

, равно

(1.13)

где V₀ — рабочий объем смесителя (V₀ = const).

Подставим значение

из (1.11) в (1.12) и после очевидных преобразований, переходя к пределу при , получим уравнение, описывающее динамическую характеристику данного объекта:

(1.14)

Выведенное ранее уравнение статической характеристики (1.13) может быть получено из (1.13) при выполнения условия равновесия, т.е когда

Для приведения уравнения (1.14) к безразмерной форме введем следующее обозначение:

Подставляя данные из таблицы 1.1 получим следующее:

(1.15)

(1.16)

(1.17)

После подстановки их в уравнение (1.14) и проведения необходимых преобразований получим в оканчательном виде.

(1.18)

(1.19)

(1.20)

Преобразуем в область Лапласа

2. Получение передаточных функций по заданным динамическим каналам объекта

Передаточные функции характеризуют изменение сигнала при прохождении через систему.

Отношение Лапласовых изображений выходной и входной величин системы при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией системы W(p)

(2.1)

где x_вх(p) и x_вых(p) – изображение по Лапласу входной и выходной величин системы.

По передаточной функции системы W(p) и изображению ее входной величины можно найти изображение выходной величины

(2.2)

При наличии одной входной и одной выходной величины система или звено имеют только один канал прохождения сигнала, а следовательно, и одну передаточную функцию. Если же система или звено имеют несколько каналов прохождения сигнала, что возможно при нескольких выходных и входных величинах, то прохождение сигнала в каждом канале характеризуется своей передаточной функцией[2].

Передаточные функции теплообменника могут быть найдены по его уравнению динамики, а также по структурной схеме (рис.2.1), составленной по равенствам (1.19).

Рисунок 2.1-Структурная схема теплообменника смешения.

Приведем без вывода передаточные функции теплообменника:

(2.3)

по каналу

(2.4)

по каналу

(2.5)

3. Получение математической модели объекта в виде переменных пространство состояний

Одной из распространенных форм математического описания линейных динамических систем являются уравнения следующего вида:

; (3.1)

Это название связано с тем, что при u_k = 0 достаточно задать начальное значение переменных x_i, чтобы однозначно определить состояние системы x_i(t), y₁ для любого момента времени. Модель (3.1) содержит n дифференциальных уравнений 1-го порядка с k управляющими входными воздействиями, а также s алгебраических соотношений для связи выходных переменных системы y с переменными состояния x. Коэффициенты a_ij, b_ik, c_li называют параметрами модели.