Визначення характеристик вала з дисками (стр. 2 из 7)
(1.0) 
де М - крутний момент;
-
довжина вала;Ip - полярний момент інерції вала;
— модуль дотичної пружності.Навантаженням, що викликає одиницю статичної деформації, тобто кут закручування, рівний одному радіану, буде з формули (1.0) деякий момент; будемо позначати цей момент буквою k і називати твердістю вала на крутіння.
(1.1)Якщо вал повернеться на кут
, то в ньому виникне момент внутрішніх сил пружності, рівний 
(1.1а)Цей момент за принципом Даламбера повинен бути дорівнює моменту сил інерції диска. (Масою вала ми зневажаємо.) Якщо кутове прискорення позначити
і момент інерції диска щодо поздовжньої вертикальної осі вала
,де Q - вага диска, D-Його діаметр, g- прискорення сили ваги.
У випадку кільцевого диска (шків, колесо)
те момент сил інерції диска буде дорівнює
(1.1b)Рівняння руху тоді буде мати вигляд:
Звільняючись від коефіцієнта при диференціалі
і позначаючи
(1.2)одержимо
(1.3)Рішення цього рівняння може бути представлене у вигляді:
(1.4)за аналогією одержуємо:
(1.5)Очевидно, що ми в цьому випадку одержали просте гармонійне коливання.
Кругова частота цього коливання (рівна кутової швидкості) буде
(1.2а)і період коливання
(1.6)Формули (1.2а) і (1.6) справедливі в остаточному виді тільки для суцільного диска постійної товщини, у випадку якого-небудь іншого диска частоту й період варто визначати по формулах:
(1.2 
) 
. (1. 
)Обчислюємо в них відповідний момент інерції диска по формулах теоретичної механіки.
Розглянемо тепер випадок коливань вала з диском (мал. 1), з урахуванням маси вала. Крім полярного моменту інерції перетину вала, скористаємося вираженням для екваторіального моменту інерції (маси) вала, відомим з теоретичної механіки.
де I0 — екваторіальний момент інерції,
W - власна вага вала,
r - радіус вала.
Якщо вага одиниці об'єму вала, тобто його питома вага, позначити
, то I0 для круглого вала можна представити у вигляді: 
(2.b)і екваторіальний момент одиниці довжини вала
(2.c)Для рішення вартої перед нами завдання зручніше за все скористатися рівняннями руху Лагранжа, тому, насамперед, знайдемо кінетичну й потенційну енергію нашої системи.
Кінетична енергія системи буде складатися з кінетичної енергії диска й кінетичної енергії вала. Кінетична енергія диска
Для знаходження кінетичної Енергії вала спочатку знайдемо кінетичну енергію елемента його dc. Якщо кут закручування в перетині з позначити
, то кінетична енергія елемента dc буде 
тому що якщо
— момент інерції одиниці довжини, то I0'dc момент інерції елемента dc.Знайдемо залежність між кутом закручування в перетині з-с-
і в перетині 
і 
Звідки
Підставляючи отримане значення
у вираження кінетичної енергії елемента dc, одержимо: 
Повну кінетичну енергію вала знайдемо інтегруванням:
Або заміняючи на основі формул (b) і (с) на
одержимо остаточно: 
Повна кінетична енергія системи
коливання вад диск спектральний
Потенційна енергія системи
де M - крутний момент, прикладений до вала. Для крутний моменту маємо вираження:
(1.1а)Підставляючи це значення у вираження для потенційної енергії, одержимо:
(2.1)Тепер можемо скласти диференціальне рівняння коливального руху нашого вала, що зручніше за все зробити у формі Лагранжа. У нашім випадку за узагальнену координату необхідно прийняти кут закручування
, тоді рівняння Лагранжа прийме вид: 
у цьому рівнянні
Знаходимо значення часток похідних, що входять у це рівняння:
Підставимо отримані значення в рівняння Лагранжа
Звільняючись від коефіцієнта при диференціалі й думаючи
одержимо
відоме нам рівняння (1.3), рішення якого
.Частота цього коливального руху
І період
(2.2)Отже, для обліку власної маси вала, що має коливання, необхідно до моменту інерції диска, що сидить на валу, додати одну третину моменту інерції вала.
Розглянемо випадок вала, що лежить у двох підшипниках (вплив яких на коливання ми, у виді незначності, не враховуємо), що несе на кінцях два диски (маховика, шківа й т.д.) (малюнок 2).
Мал. 2 Вал із двома дисками
Вал буде випробовувати крутильні коливання тільки за умови обертання дисків у різні сторони, що може бути досягнуто додатком до дисків двох рівних і прямо протилежних моментів. Після видалення моментів у системі, що складається з вала й двох; дисків, виникнуть крутильні коливання. У кожний момент часу кутові швидкості дисків будуть спрямовані протилежно один одному. Лівий диск і деяка частина вала, що примикає до нього, буде обертатися, допустимо, за годинниковою стрілкою, а правий диск і його частина вала проти годинникової стрілки. У такому випадку на валу обов'язково повинне бути перетин, у якому немає ніякого обертання. Вал можна розглядати як жорстко забитий у перетині, причому, у нашім прикладі, ліва частина обертається по вартовий і права проти годинникової стрілки.