Визначення характеристик вала з дисками (стр. 4 из 7)

1.3 Коливання вала із трьома дисками

Розглянемо коливання вала із трьома дисками (мал. 3). Тут I₁ , I₂ ,I₃ моменти інерції дисків, k₁ і k₂ твердості ділянок вала на крутінні, за аналогією з формулою (1.1) рівні:

і

Мал. 3 Вал із трьома дисками

Якщо амплітуди коливань дисків позначити

то рівняння (2.14) для даного випадку приймуть вид:

. (2.15)

Складаючи ці рівняння одержимо

звідки

,

.

Квадрат частоти коливань р² нулю дорівнює бути не може, тому:

. (2.16)

Виразимо М₁ і М₃ через М₂ , що може бути зроблене з рівняння (2.15)

Підставимо отримані значення М₁ і М₃ у рівняння (2.16)

Скорочуючи на М₂ і приводячи до загального знаменника одержимо:

Робимо угруповання

Звільняючись від коефіцієнта при р⁴ і роблячи перетворення в круглих дужках одержимо остаточно:

(2.17)

Одержали біквадратне рівняння для визначення частоти. Корінь цього рівняння

й відповідають двом головним видам коливань: нижчому, що має один вузол коливань (два сусідніх диски обертаються в одну сторону), і вищому, що має два вузли коливання (крайні диски обертаються в одну сторону).

1.4 Коливання вала із чотирма дисками

Розглянемо крутильні коливання вала із чотирма дисками. Нехай I₁ , I₂ ,I₃,,I₄— моменти інерції дисків, k₁ ,k₂,,k₃ — твердості ділянок вала на основі формули (1.1) рівні:

; ;

Амплітуди коливань дисків позначимо як і раніше: М₁,М₂,,М₃,,М₄.

Тоді рівняння (2.14) для даного випадку приймуть вид:

(2.18)

Складаючи отримані рівняння знайдемо:

З огляду на подібні доданки, одержимо

Квадрат частоти - р² нулю не дорівнює, отже:

(2.19)

Виразимо М₁,М₃ і М₄ через М₂, що може бути зроблене за допомогою рівнянь (2.18).

За допомогою першого рівняння з (2.18) знайдемо:

(2.а)

Із другого рівняння нижченаведеними діями знайдемо:

,

або підставляючи замість М₁ його значення з (2.а)

,

,

,

. (2.d)

З рівняння четвертого знайдемо

Підставивши значення М₃ з (2.d)

(2.е)

Знайдені значення М₁, М₃ і М₄ підставимо в рівняння (2.19)

Скорочуємо отримане рівняння на М₂ і приводимо ліву частину рівняння до загального знаменника, що і відкидаємо. Загальним знаменником, мабуть, буде вираження:

Робимо угруповання

Звільняючись від коефіцієнта при р⁶, приведемо наше рівняння до виду:

(2.20)

Таким чином, були розглянуті формули для знаходження власних частот коливання вала з різною кількістю дисків. Визначивши частоти, можна розрахувати критичні швидкості прямих валів, а, знаючи ці швидкості можна попередити надходження різного роду порушення нормального ходу машини, які звичайно виражаються в появі биттів вала або вібрації всієї установки в цілому.

1.5 Застосування методу рішення прямого завдання, програмна реалізація рішення

Розглянемо застосування методу рішення прямого завдання по визначенню власних частот крутильних коливань вала з дисками на конкретних прикладах.

Приклад 1

Визначити власні частоти системи, що складає із трьох дисків з моментами інерції мас:

, укріплених на сталевому валу з жестокостями й .

При підстановці даних значень у рівняння (2.17) одержуємо біквадратне рівняння:

р⁴-3.5p²+2.0=0.

Корінь даного рівняння, знайдені в пакеті Maple, мають вигляд:

p₁=-1.667566013, p₂=1.667566013, p₃=-0.8480705122, p₄=0.8480705122

Але нас цікавлять тільки позитивні величини, тому що частоти негативні значення приймати не можуть.

Приклад 2

Визначити власні частоти системи, що складає із трьох дисків з моментами інерції мас:

, укріплених на сталевому валу з жестокостями й .

При даних значеннях фізичних величин рішення рівняння (2.17) має вигляд:

p₁=-1,370821968, p₂=-0,7879385321, p₃=1,370821968, p₄=0,7879385321

Приклад 3

Визначити власні частоти системи, що складає із чотирьох дисків з моментами інерції мас:

, укріплених на сталевому валу з жестокостями , і .