Визначення характеристик вала з дисками (стр. 5 из 7)
При даних значеннях фізичних величин рішення рівняння (2.20) має вигляд:
p1=-2,417091066, p2=-1,581138830, p3=2,417091066, p4=1,581138830
Приведемо програмну реалізацію рішення прямого спектрального завдання, що використовує команди математичного пакета MAPLE
Рішення приклада 1:
> I1:=0.2;
> I2:=0.3;
> I3:=0.1;
> k1:=0.1;
> k2:=0.2;
> y:=p^4-(k1*(I1+I2)/(I1*I2)+k2*(I2+I3)/(I2*I3))*p^2+((I1+I2+I3)/(I1*I2*I3))*k1*k2=0;
Підставимо дані значення в рівняння (2.17)
> y:=p^4-(k1*(I1+I2)/(I1*I2)+k2*(I2+I3)/(I2*I3))*p^2+((I1+I2+I3)/(I1*I2*I3))*k1*k2=0;
> solve(y,p);
Рішення приклада 3:
> restart;
> i1:=0.2;
> i3:=0.3;
> i2:=0.1;
> i4:=0.2;
> k1:=0.1;
> k2:=0.2;
> k3:=0.3;
Підставимо дані значення в рівняння (2.20)
> y:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;
> fsolve(y,p);
2. Діагностування характеристик вала з дисками по спектрі частот коливань
2.1 Постановка зворотної спектральної завдань
Поставимо тепер до завдання визначення частот крутильних коливань вала з дисками зворотне спектральне завдання.
Оскільки зміни величин моментів інерції мас дисків і коефіцієнтів твердості ділянок вала на крутінні можуть характеризувати ступінь зношеності дисків, налипання до вала сторонніх предметів і так далі, те зворотне завдання полягає в діагностуванні характеристик вала з дисками по власних частотах коливань вала. Відомо, що зміни зазначених значень характеристик вала проявляються в змінах значень власних частот його коливань, що у свою чергу може привести до непотрібних вібрацій, збільшенню шуму й т.п.
Тому виникає також завдання збереження заданого (безпечного) діапазону частот крутильних коливань вала. Подібну проблему ми пропонуємо вирішити також при розгляді зворотного завдання.
Отже, відомі власні частоти р крутильних коливань вала з дисками. Необхідно визначити характеристики вала з дисками по спектрі частот його коливань. До характеристик ми віднесемо моменти інерції мас дисків і коефіцієнти твердості ділянок вала на крутінні.
Зупинимося на діагностуванні цих характеристик докладніше.
2.2 Діагностування коефіцієнтів твердості ділянок вала між дисками
При дослідженні завдання про коливання вала із трьома дисками отримане наступне частотне рівняння (2.17):
Тут, як і раніше, k1, k2. – коефіцієнти твердості ділянок вала між дисками, р.– власна частота крутильних коливань вала, I1, I2, I3.. – моменти інерції мас трьох дисків відповідно.
Зворотне завдання: Відомі власні частоти коливань вала, моменти інерції дисків. Невідомі коефіцієнти твердості ділянок вала між дисками.
Перетворимо рівняння (2.17) до виду
.Якщо розглянути дві власні частоти р1 і р2, то останні рівняння являють собою систему алгебраїчних рівнянь із двома невідомими k1, k2 .
(3.1)Віднімаючи з першого рівняння системи (3.1) друге, одержимо
.Розділимо обидві частини останньої рівності на
: 
Виразимо
:
, (3.2)і підставимо його в перше рівняння системи (3.1):
Перетворимо останню рівність до виду:
Вирішуючи останнє рівняння відносно
, одержимо 
, (3.3)де
Таким чином, формули (3.2) і (3.3) однозначно визначають коефіцієнти твердості ділянок вала на крутінні для вала із трьома дисками.
Поставимо тепер подібне зворотне завдання для вала із чотирма дисками, частотне рівняння для крутильних коливань якого має вигляд (2.20):
Тут, знову, k1, k2. k3 – коефіцієнти твердості ділянок вала між дисками, р.– власна частота крутильних коливань вала, I1, I2, I3, I4. - моменти інерції мас чотирьох дисків.
Зворотне завдання: Відомі власні частоти коливань вала, моменти інерції дисків. Невідомі коефіцієнти твердості ділянок вала між дисками.
Розглянемо знову дві власні частоти р1 і р2 крутильних коливань вала, тоді рівняння (2.20) являють собою систему алгебраїчних рівнянь із двома невідомими k1, k2 при відомому коефіцієнті k3. Обчислення, проведені в пакеті MAPLE, показують, що із системи (3.4) можна однозначно визначити коефіцієнти твердості двох будь-яких ділянок вала між дисками при відомому коефіцієнті твердості одного із трьох ділянок. Причому всі ці коефіцієнти пружних закріплень визначаються по двох власних частотах крутильних коливань вала.
2.3 Діагностування моментів інерції мас дисків
Розглянемо знову частотне рівняння (2.17), отримане для обчислення частот крутильних коливань вала із трьома дисками.
Зворотне завдання. Нехай відомі власні частоти р коливань вала, коефіцієнти твердості k1, k2 ділянок вала між дисками. Необхідно визначити невідомі моменти інерції мас двох дисків при відомому моменті інерції третього диска.
Нехай, наприклад, відомий момент інерції другого диска. Тоді, якщо розглянути знову дві власні частоти р1 і р2 коливань вала, то рівняння (2.17) являють собою систему алгебраїчних рівнянь із двома невідомими I1, I3.
(3.5)Підставляючи вираження
із другого рівняння системи (3.5) у перше рівняння, одержимо 
.З останньої рівності виразимо
через 
:
(3.6) 
.Підставимо тепер вираження (3.6) у перше рівняння системи (3.5). Після перетворень маємо
(3.7)де
.Вирішуючи рівняння (3.7) щодо невідомої
, одержимо квадратне рівняння 
дискримінант якого має вигляд
.