Визначення характеристик вала з дисками (стр. 6 из 7)
. (3.8)Таким чином, моменти інерції мас двох дисків перебувають однозначно по формулах (3.7) і (3.8). Подібні формули можна одержати для моментів інерції будь-яких двох дисків при відомому моменті інерції одного із трьох дисків.
Аналогічне завдання діагностування розв'язуване й для вала із чотирма дисками, частотне рівняння якого отримане нами у вигляді (2.20).
Обчислення, проведені в пакеті MAPLE, показують, що із системи (3.4) можна однозначно визначити коефіцієнти твердості двох будь-яких ділянок вала між дисками при відомому коефіцієнті твердості одного із трьох ділянок. Причому всі ці коефіцієнти пружних закріплень визначаються по двох власних частотах крутильних коливань вала.
2.4 Застосування методу рішення зворотного завдання, програмна реалізація рішення
Розглянемо застосування методу рішення зворотного завдання по визначенню характеристик вала з дисками на конкретних прикладах.
Приклад 4
Відомі власні частоти крутильних коливань вала із трьома дисками:
, 
. Момент інерції маси першого диска 
коефіцієнти твердості ділянок вала між дисками 
, 
.Знайти моменти інерції мас другого й третього дисків.Рішення.
Підставляючи значення
, у рівняння (2.20), одержимо систему двох рівнянь із двома невідомими 
. Рішення системи, знайдене в пакеті Maple, має вигляд: 
. Значення визначені вірно, тому що за рішенням прямого завдання саме цим моментам інерції відповідають дані значення власних частот.Приклад 5
По двох власних частотах
, крутильних коливань вала із трьома дисками й відомими моментами інерції 
діагностувати коефіцієнти твердості ділянок вала на крутінні.Рішення
Рівняння (2.17) при заданих значеннях
, являє собою наступну систему: 
з якої одержуємо, що
, . Цього ж значення коефіцієнтів виходять при підстановці значень власних частот в аналітичні формули (3.2) і (3.3). Коефіцієнти вірни, тому що саме цим коефіцієнтам при рішенні прямого завдання відповідали задані значення власних частот.Приклад 6
Розглядається вал із чотирма дисками, для якого відомі
, , 
. По частотах 
визначити моменти інерції мас перших трьох дисків.Рішення
Підставляючи значення
в рівняння (2.20), одержимо систему трьох рівнянь із трьома невідомими 
. Рішення системи має вигляд 
.Значення визначені вірно, тому що за рішенням прямого завдання саме цим моментам інерції відповідають дані значення власних частот.Розглянемо програмні реалізації рішень зворотних завдань.
Рішення приклада 4
> restart;
> i1:=0.2;
> k1:=0.1;
> k2:=0.2;
> p:=.8480705122;
> p:=1.667566013;
> p:=-1.667566013;
> t1:=.5172825777-.7192235937e-1*(i1+i2)/i1/i2-.1438447187*(i2+i3)/i2/i3+.2e-1*(i1+i2+i3)/i1/i2/i3 = 0;
> t2:=7.732717430-.2780776408*(i1+i2)/i1/i2-.5561552816*(i2+i3)/i2/i3+.2e-1*(i1+i2+i3)/i1/i2/i3 = 0;
> t3:=7.732717430-.2780776408*(i1+i2)/i1/i2-.5561552816*(i2+i3)/i2/i3+.2e-1*(i1+i2+i3)/i1/i2/i3 = 0;
> solve({t1,t2,t3},{i2,i3});
Рішення приклада 5
> restart;
> i1:=0.2;
> i2:=0.3;
> i3:=0.1;
> p:=.8480705122;
> p:=1.667566013;
> t1:=p^4-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3))*p^2+k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)=0;
> t2:=p^4-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3))*p^2+k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)=0;
> solve({t1,t2},{k1,k2});
Рішення приклада 6
> restart;
> i4:=0.2;
> k1:=0.1;
> k2:=0.2;
> k3:=0.3;
> p:=1.581138830;
> p:=2.417091066;
> p:=-1.581138830;
> t1:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;
> t2:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;
> t3:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;
> solve({t1,t2,t3},{i1,i2,i3});
Висновок
У роботі досліджені й вирішені завдання визначення власних частот крутильних коливань вала з дисками по відомих моментах інерції мас дисків і коефіцієнтів твердості ділянок вала на крутінні. Рішення зведене до системи n звичайних рівнянь щодо невідомих власних частот крутильних коливань вала. Із цієї системи отримані частотні рівняння для вала із двома, трьома, чотирма дисками. Зроблено відповідні обчислення, складена програма в математичному пакеті Maple.
Уперше наведена постановка зворотного спектрального завдання діагностування характеристик вала з дисками по спектрі частот його коливань. Алгоритм діагностування зводиться до рішення систем алгебраїчних рівнянь. Розглянуто діагностування моментів інерції мас дисків по власних частотах коливань вала. Завдання вирішене для вала із трьома, чотирма дисками. Ці характеристики однозначно визначаються для двох дисків вала із трьома дисками при відомому моменті інерції маси третього диска. Показано, що для вала із трьома дисками достатнє знання двох власних частот коливань вала. Причому, чисельні рішення показують можливість визначення моментів інерції мас будь-яких двох дисків (при відомому моменті третього диска), незалежно від їхнього взаємного розташування.