Технология обжига цинковых концентратов в печи кипящего слоя (стр. 8 из 18)
(22) 
, (23)где
- масса оксида цинка, связанная в феррит в момент времени t, Кф - макроконстанта скорости реакции, 1/с; 
- текущие массы свободного оксида железа и связанного в феррит, г; М - доля оксида железа, вступающего в реакцию.Уравнения материального баланса:
1) текущая масса свободного оксида цинка в частице огарка
(24)2) текущие массы сульфидов цинка и железа
при t=0
(25) 
при t=0
(26)где GZnS (0), GFeS (0) - начальные массы сульфидов в частице концентрата; R - радиус частицы концентрата; g - плотность концентрата; СZnS (0), СFeS (0) - содержание сульфидов цинка и железа в концентрате, масс. %;
3) текущая масса окисляющейся частицы концентрата
(27)где Gи - масса инертных веществ.
Влияние температуры на процесс окисления и ферритообразования выражается в соответствии с законом Аррениуса:
(28) 
(29)Площадь реакционной поверхности и толщина слоя оксидов определяется через текущие массы твердых веществ. При этом введены поправочные коэффициенты aи b, которые учитывают отклонение формы реальных частиц концентрата от идеальных по гладкости и шарообразности, а также разницу между вычисляемыми величинами площади и толщины и реальными, обусловленную присутствием в зернах концентрата посторонних (инертных) примесей:
(30) 
(31)где gi - плотность соответствующих веществ.
Таким образом, периодический процесс окисления сульфидного цинкового концентрата в рамках принятых допущений описывается системой уравнений (1) - (13).
Параметрическая идентификация математической модели осуществляется по экспериментальным данным, при этом определяли содержание цинка в огарках обжига. Поэтому в систему (19) и (31) введено уравнение
(32)Расчеты показали, что в условиях эксперимента C1»10-15 и С2»10-54, поэтому принимаем С1=С2=0.
В качестве критерия идентификации использовано выражение
(33)где
- содержание i-го вещества в (t) - ый момент времени, полученное решением системы уравнений (19) - (32); 
- получено экспериментально:i - ZnS; Znкр; Znc; Znф; i=1; 2; 3; 4; j - ZnS; ZnO; Znc; ZnO Fe2O3
(t) - 0; 1; 2; 5; 10; 20; 40; 60 мин, t=1; 2; 3; …; 8.
Цель идентификации - отыскание численных значений DK1a/bи KфM при выполнении условий (33).
В процессе идентификации выяснилось, что
изменяется во времени строго в соответствии с изменением 
. Поэтому с целью упрощения модели уравнение (20) было заменено на 
(34) при этом 
(35)где
и 
- массы Fe2O3 и ZnO, которые образуются при полном окислении сульфидов железа и цинка, находившихся в порции концентрата (в частице).Результаты решения системы (19) - (32) оказались полностью идентичными результатам решений, полученным после замены (20) на (34).
Таким образом, получена математическая модель [5] процесса окисления сульфидного цинкового концентрата, позволяющая исследовать влияние температуры, состава и размера частиц концентрата и концентрации кислорода на содержание в огарке кислоторастворимого и связанного в феррит и сульфид цинка.
2.4.2 Описание метода поиска экстремума
Применение современных информационных технологий и компьютерной техники позволило широко использовать методы оптимизации и адаптации при создании и эксплуатации автоматизированных систем управления технологическими процессами на предприятиях различных отраслей экономики.
При решении конкретной задачи оптимизации цели необходимо выбрать математический метод, который приводил бы к конечным результатам с наименьшими затратами на вычисление (количество обращении метода к математической модели). К настоящему времени разработано достаточно большое количество методов, позволяющих "автоматизировать" процесс поиска оптимальных решений. Рассмотрев наиболее известные методы, которые чаще всего используются в практике разработки систем оптимального управления технологическими процессами, метод наискорейшего спуска выбран для данного случая как наиболее эффективный.
Сочетание основных идей методов релаксации и градиента дает метод наискорейшего спуска, который заключается в следующем. После того как в начальной точке найден градиент оптимизируемой функции и тем самым определено направление ее наибыстрейшего убывания в указанной точке, в данном направлении делается шаг спуска. Если значение функции в результате этого шага уменьшилось, производится очередной шаг в том же направлении, и так до тех пор, пока в этом направлении не будет найден минимум, после чего вычисляется градиент и определяется новое направление наибыстрейшего убывания целевой функции.
В сопоставлении с методом градиента метод наискорейшего спуска оказывается более выгодным из-за сокращения объема вычислений. По существу метод наискорейшего спуска по вычислительным затратам эквивалентен методу релаксации, однако выгодно отличается от него тем, что по крайней мере первые шаги после определения градиента производятся в оптимальном направлении. Очевидно, что чем менее резко изменяется направление градиента целевой функции, тем выгоднее использовать метод наискорейшего спуска по сравнению с методом градиента, т.е. вдали от оптимума. Вблизи оптимума направление градиента меняется резко, поэтому указанный метод автоматически переходит в метод градиента, так как минимум по каждому направлению находится за небольшое число шагов.
На рисунке 5 показаны возможная траектория движения к оптимуму при применении метода наискорейшего спуска и траектория движения к оптимуму при использовании метода градиента.
Важной особенностью метода наискорейшего спуска является то, что при его применении каждое новое направление движения к оптимуму ортогонально предшествующему.
Это объясняется тем, что движение в одном направлении производится до тех пор, пока направление движения не окажется касательным к какой-либо линии постоянного уровня. Тем самым метод наискорейшего спуска имеет сходство с методом релаксации, для которого новое направление также ортогонально предшествующему; однако в отличие от метода релаксации скорость сходимости к оптимуму не зависит от ориентации системы координат.
В качестве критерия окончания поиска, могут использоваться те же условия, что и в рассмотренных выше методах. Кроме того, можно также применять условие окончания поиска в форме соотношения
, (36)причем
и 
-координаты начальной и конечной точек последнего отрезка спуска.Этот же критерий может использоваться в сочетании с контролем значений целевой функции в точках
и 
: 
, (37)Совместное применение условий (36) и (37) оправдано в тех случаях, когда оптимизируемая функция имеет резко выраженный минимум.
Рассмотрим еще один метод выбора величины шага в заданном направлении, в котором используется информация, полученная на предыдущих шагах по этому же направлению. Сущность метода заключается в том, что в процессе движения вдоль заданного направления характер изменения целевой функции аппроксимируется по результатам трех последних шагов полиномом второго порядка.
При движении по заданному направлению целевая функция может считаться функцией переменного параметра h, характеризующего положение точки х на заданной прямой. Рассмотрим значения целевой функции при трех последовательных значениях h: h1, h2 и h3 (рис.5).