Измерение, контроль, диагноз и устранение колебаний ротационных машин (стр. 6 из 9)

3 – блок вычисления апостериорной вероятности

Здесь

– шаг диагностического процесса, а проще порядковый номер проводимой проверки объекта. Формула Байеса играет важную роль в стохастическом управлении диагностикой. Видно, что функция правдоподобия имеет в ней большое значение. Вся информация об объекте, в ходе очередной проверки содержится в . И именно через функцию правдоподобия наблюдения изменяют априорное знание о . Заметим, что умножение функции правдоподобия на постоянную не изменяет апостериорной вероятности, ибо эта постоянная пропадает при нормировке вероятности в единицу. Из формул видно, что апостериорное распределение может быть вычислено и после каждой проверки, и после их любого набора;

4 – блок определения целесообразности остановки диагностического процесса или его продолжения;

5 – блок выбора следующей проверки объекта; работает, если в блоке 4 принято решение не останавливать диагностику;

6 – блок выработки оценки

состояния объекта (его неисправности); работает в некоторый момент , если в блоке 4 принято решение об остановке диагностики.

Рисунок 2.1 – Структурная схема системы диагностики, реализующей управляемый случайный диагностический процесс

Таким образом, видно, что диагностический процесс, в статистической диагностике трактуется как управляемый случайный процесс с дискретным временем

, где – случайный момент остановки процесса проверки объекта. Оптимизация этого процесса проводится в соответствии с определенным критерием, который учитывает траекторные потери на проведение проверок U и терминальные потери от ошибочного диагноза. Последние связаны с байесовским решением о виде неисправности объекта, которое на основе минимизирует математическое ожидание некоторой функции потерь .

Таким образом, общая стратегия диагностики

состоит из трех составляющих:

– стратегии выбора очередной проверки объекта;

– стратегии (момента) остановки диагностического процесса;

– стратегии принятия окончательного диагноза.

Практика использования статистической диагностики в технике привела к одному общему выводу – ее эффективность прямо пропорциональна знанию указанных функций распределения вероятностей тех случайных величин, которые и делают диагностический процесс случайным (распределение неисправностей, результатов проверок и т.д.). Это привело к постановке задач об адаптации системы диагностики к реальной статистической структуре диагностических данных. Однако большого развития эти работы не получили из-за того, что в конце 60-х годов системы диагностики, как правило, не имели в своем составе ЭВМ, что препятствовало автоматическому накоплению и обработке диагностической информации за достаточно большое число диагностик.

Выше эта задача была упомянута как задача обучения системы диагностики. Речь идет о параметрической оценке тех функций распределения, которые определяют статистическую структуру контролируемых величин объекта (результатов проверок).

Естественно, что сам процесс обучения системы диагностики должен каким-то образом оптимизироваться. Действительно, если обучение слишком затянется, то перейти на статистическую диагностику можно будет, лишь в конце жизненного цикла объекта. Ясно, что в этом случае получаемая выгода будет маленькой. Вместе с тем, если переход на статистические методы будет преждевременным, это также не даст большого выигрыша, а иногда может привести к излишним потерям. Действительно, ведь обучение системы диагностики – это оценка распределения истории диагноза. Если обучающая выборка слишком мала, то и достоверность оценки распределения будет недостаточной. Поэтому и статистическая оптимизация процесса диагностики по такой оценке не будет эффективной.

Выше уже говорилось о том, что оценка распределения включает оценку его вида и оценку соответствующих параметров. Первая задача решается методами непараметрической статистики. Вторая использует, если говорить обобщенно, в основном две разновидности методов – байесовские и небайесовские.

Учитывая опыт эксплуатации однотипных объектов, можно составить определенное мнение о семействах тех распределений, которые встречаются в задачах их диагностики. Как правило, это мультиномиальные и экспоненциальные семейства. Тем не менее, конкретное значение их параметров для объекта конкретного типа остается зачастую неизвестным. Именно поэтому задача оценки неизвестного распределения истории диагноза, в первую очередь, является задачей оценки параметров этого распределения. Также будет приводится обобщение некоторых видов непрерывных распределений, что дает возможность решать параметрическими методами и ряд непараметрических задач.

До тех пор, пока не получена оценка

для неизвестного параметра истории диагноза, нельзя статистически оптимизировать алгоритмы диагностики. С одной стороны, хотелось бы такую оценку получить как можно быстрее, с другой – как можно точнее. Вот эти противоречивые требования и создают основу для введения такого критерия оптимизации процесса обучения системы диагностики, который бы учитывал как нарастание траекторных потерь на сбор диагностической информации в виде историй диагноза, так и ожидаемое значение терминального выигрыша от перехода на статистические методы диагностики.

Будем использовать критерий оптимизации, который максимизирует ожидаемую сумму траекторных потерь и терминального выигрыша. Безусловно, что эквивалентным является и такой подход, когда минимизируется ожидаемая сумма траекторных и терминальных потерь.

Траекторные потери на обучение определяются, в основном, отсутствием статистической оптимизации диагностики до того, как получена оценка

, К тому же во время обучения занимаются определенные вычислительные ресурсы на ее обслуживание и реализацию. Терминальный выигрыш тем больше, чем точнее оценка неизвестного параметра. Он определяется той определенной экономией, которая может быть получена после перехода на статистические методы диагностики после получения оценки . Естественно, что эти две составляющие с помощью соответствующих коэффициентов должны быть приведены или к единой размерности, или даже к безразмерным величинам.

Подобная нормировка составляющих важна уже на этапе решения частных задач обучения. А оптимизации самого процесса обучения выливается в принятие двух решений:

a) об остановке процесса обучения;

b) о выработке оценки

неизвестного параметра и о переходе на статистические методы диагностики с этой оценкой.

2.2 Определение оптимального момента перехода на статистические методы диагностики

Укажем только, что можно выделить два подхода к оценке параметров распределения – байесовский и небайесовский.

Небайесовский подход можно назвать в какой-то мере классическим, ибо до недавнего времени именно он имел большое распространение. Чтобы проиллюстрировать его, положим, что наблюдаемая контрольная величина имеет распределение с плотностью

, где параметр неизвестен. В классическом подходе выборочных оценок оценка выбирается как функция от выборки . Окончательный вывод делается путем сравнения наблюдаемого значения с его выборочным распределением, причем функция, обычно выбирается так, чтобы выборочное распределение отдельных оценок при различных выборках было как можно сильней концентрированным, вокруг истинного значения параметра . При этом к оценкам, обычно предъявляется целый ряд требований, которые позволяют сузить их класс. Это требования типа несмещенности, состоятельности, эффективности, которые описывают асимптотическое поведение оценки относительно истинного значения параметра. Чтобы оценить степень отклонения истинного значения, вычисляется доверительный интервал , где и являются такими функциями от , чтобы при повторении следующих выборок объемом истинное покрывалось интервалом с вероятностью .