Загальні поняття про якість виробів та основні її показники (стр. 4 из 6)

4.2 Закон нормального розподілу (Закон Гаусса)

Експериментально встановлено, що у більшості випадків при стійкому процесі механічної обробки заготовок на налагоджених верстатах з точністю 8–10 квалітетів і грубіше та за відсутності змінюваних в часі систематичних похибок точність обробки підкоряється закону нормального розподілу, який зображується кривою Гаусса, рівняння якої має вигляд:

.

Графічно закон нормального розподілу (закон Гаусса) зображується у вигляді кривої горбоподібного типу (рис. 5), гілки якої входять у + ∞ та – ∞, асимптотично наближуючись до осі абсцис.

Рис. 5. Крива нормального розподілу (закон Гаусса)

Закон нормального розподілу характеризується двома параметрами: s і

. Параметр s є мірою розсіювання випадкової величини Х. Зі збільшенням s крива розподілу стає більш пологою, а її гілки розсовуються ширше, зі зменшенням s крива нормального розподілу робиться більш витягнутою, а її гілки зближуються (рис. 6).

s приблизно, за результатами вимірювань, розраховується за формулою:

.(2)

Рис. 6. Вплив середнього квадратичного відхилення на форму кривої нормального розподілу

Параметр

є мірою положення кривої нормального розподілу відносно осі ординат. Зі збільшенням криві розподілу зсуваються вправо, зі зменшенням – вліво (рис. 7).

Рис. 7. Вплив

на положення кривої розподілу відносно початку координат

визначається за формулою:

,

або при розподілі згрупованих даних за f-інтервалами:

.(3)

Оскільки гілки кривої нормального розподілу прямують до нескінченності, то поле розсіяння випадкової величини Х дорівнює нескінченності. З віддаленням значень х від

ймовірність отриманих результатів їх зменшується і доходить до надто малих значень. При малих ймовірностях подія здійснюється рідко і, отже, значеннями х можна знехтувати. Тому для практичного використання кривої нормального розподілу її абсцису виражають через s і обмежують поле розсіяння значень х межами х ± ts, тобто практичне поле розсіяння випадкової величини приймають рівним (рис. 5):

,(4)

де

– нормований параметр розподілу.(5)

Значення t вибирається в залежності від прийнятої ймовірності Р знаходження значень x в межах поля розсіяння Δ_p та ймовірності q = 1 – p виходу значень x за межі Δ_p Вибір значень t провадять за відповідними таблицями, які додаються до курсу математичної статистики.

Найчастіше приймають t = 3. Цьому значенню відповідає ймовірність Р = 0,9973 і q = 0,0027. Отже, при t = 3,99,73 % всіх можливих значень х буде лежати в межах поля розсіювання, рівного Δ_p = 6s, і тільки 0,27 % значень вийде за його межі. Цей відсоток настільки малий, що значеннями s, які виходять за межі Δ_p = 6s, можна знехтувати і практично вважати, що всі значення лежать в межах поля розсіювання.

Часто на практиці спочатку будують емпіричну криву розподілу, де емпіричне середнє квадратичне відхилення визначається за формулою (2), а потім визначається s за формулою:

s = γS,(6)

де γ – коефіцієнт, який враховує похибку визначення s при малих розмірах партії вимірюваних заготовок.

Таблиця 1 Поправковий коефіцієнт γ [3]

N	25	30	40	50	60	70	75	80	90	100	200
γ	1,4	1,39	1,33	1,3	1,26	1,24	1,25	1,22	1,21	1,2	1,15

Нормальний закон розподілу спостерігається в тих випадках, коли досліджувана випадкова величина є результатом дії великої кількості різних факторів, причому всі фактори за інтенсивністю свого впливу діють однаково. Цьому закону підкоряється велика кількість безперервних величин: розміри деталей, оброблених на настроєних верстатах; маса заготовок і деталей машин; твердість та інші механічні властивості матеріалу; висота мікронерівностей на оброблених поверхнях; похибки вимірювань та деякі інші величини. У всіх перелічених випадках доводиться спостерігати невеликі відхилення від нормального закону.

4.3 Побудова кривої нормального розподілу

деталь машина обробка точність

1. Береться поточна вибірка із партії заготовок, оброблених підряд одна за одною за одних і тих же умов обробки на одному й тому ж верстаті. Для отримання достовірних результатів обсяг вибірки повинен бути в межах 1000 ³ n ³ 50.

Вимірюють всі заготовки за потрібним параметром інструментом зі шкалою з мінімальною ціною поділки. Ціну поділки вимірювального інструменту вибирають з умови:

де Т – допуск вимірюваного параметра.

За результатами вимірювань визначається різниця між найбільшим і найменшим розмірами, тобто:

w_p = x_max – x_min.

3. Отримані значення параметра заготовок вибірки розбивають на f інтервалів. Ширина d інтервалу повинна не менше ніж у два рази перевищувати ціну поділки вимірювального інструменту (приладу): d ³ 2с; d = Δ_p/f.

Число інтервалів визначається за таблицею:

n	20–40	40–60	60–100	100	100–160	160–250
f	6	7	8	10	11	12

або за формулою:

f = 1 + 3,322 lg n.

4. Для кожного інтервалу розраховують частоту m_i та частість m_i/n і заносять їх у табл.

Таблиця 2 Розподіл розмірів заготовок

Інтервал, мм	Частота	Частість
20,00–20,0520,05–20,1020,10–20,1520,15–20,2020,20–20,2520,25–20,3020,30–20,35	211192822153	0,020,110,190,280,220,150,03
Всього	n = ∑m = 100	∑m/n = 1

5. За даними табл. 2 будується графік (рис. 8). По осі абсцис відкладають інтервали розмірів у відповідністю з табл. , а по осі ординат – відповідні їм частоти m_i або частості m_i/n.

Рис. 8. Розподіл виміряних розмірів заготовок

В результаті побудови отримується ступінчаста лінія І, яка називається гістограмою розподілу. Якщо послідовно з’єднати між собою точки, що відповідають середині кожного інтервалу, то створюється ламана крива, яка називається емпіричною кривою розподілу, або полігоном розподілу. При значній кількості виміряних заготовок і великій кількості інтервалів розмірів ламана емпірична крива наближається за формою до плавної кривої, яка називається кривою розподілу.

За формою емпіричної кривої приймають гіпотезу про теоретичний закон розподілу досліджуваного параметра.

6. За прийнятою гіпотезою визначають основні параметри емпіричного розподілу.

7. На основі емпіричного розподілу та його параметрів порівнюють емпіричний розподіл з теоретичним, тобто визначають теоретичні частоти і будують теоретичну криву.

Приблизно можна вважати, що:

,(7)

де

– теоретична частота;

d – ширина (ціна) інтервалу;

n – число вимірювань (число деталей у вибірці).

З рівняння (7) маємо:

.(8)

Якщо у вираз (8) підставити нормований параметр розподілу

, то отримаємо:

.

Позначимо

і враховуючи, що s = S, формула (8) набуде вигляду:

.(9)

Величина Z_t обчислена для різних значень t і наведена в [7, додаток 1].

Значення t для кожного інтервалу розмірів знаходять за формулою:

,(10)

де x_i – середина і-го інтервалу.

Таким чином, для підрахунку теоретичних частот необхідно для кожного інтервалу розмірів за формулою (10) визначити значення t [7, додаток 1],визначити Z_t і потім скористатись формулою (9).

Необхідно відмітити, що теоретична крива нормального розподілу може бути побудована за характерними точками. Координати характерних точок кривої нормального розподілу наведені в табл. 3.