Практичне використання законів розподілу розмірів для аналізу точності обробки (стр. 2 из 4)

Таблиця 2

Підрахунок частот емпіричного розподілу

Інтервали розмірів		Середина інтервалу xi	Підрахунокчастот	Частота ni
від	до
80,225	80,231	80,228	1	1
80,231	80,237	80,234	11111111	8
80,237	80,243	80,240	111111111111111111	18
80,243	80,249	80,246	11111111111111111111111111	26
80,249	80,255	80,252	1111111111111111111111	22
80,255	80,261	80,258	11111111111	11
80,261	80,267	80,264	11	2
Всього				88

Рис. 3. Гістограма (1), емпірична крива (2) та теоретична крива нормальногорозподілу (3) розмірів деталей

На основі полігону розподілу похибок за гіпотезу теоретичного розподілу частот досліджуваного параметра приймаємо закон нормального розподілу.

Визначення основних параметрів прийнятого закону розподілу.

За оцінку основних параметрів закону нормального розподілу використовують вибіркове середнє арифметичне значення досліджуваного параметра

і вибіркове середнє квадратичне відхилення S, які обчислюються за формулами (2.3) та (2.2):

;

.

Для полегшення підрахунків використовуємо табл. 3.

Таблиця 3

Допоміжна таблиця для обчислення

і S вибірки

Інтервали розмірів		Середина інтервалуxi	Частота mi	ximi
від	до
80,225	80,231	80,228	1	80,228	0,019	0,000361	0,000361
80,231	80,237	80,234	8	641,872	0,013	0,000169	0,001352
80,237	80,243	80,240	18	1444,32	0,007	0,000049	0,000882
80,243	80,249	80,246	26	2086,396	0,001	0,000001	0,000026
80,249	80,255	80,252	22	1765,544	0,005	0,000025	0,00055
80,255	80,261	80,258	11	882,838	0,011	0,000121	0,001331
80,261	80,267	80,264	2	160,528	0,017	0,000289	0,000578
Всього			88	7061,726	0,00508

Вибіркове середнє арифметичне значення

дорівнює:

мм,

а вибіркове середнє квадратичне відхилення S:

мм.

7.Порівняння емпіричного розподілу з теоретичним та побудова теоретичної кривої

За зовнішнім виглядом емпіричної кривої можна приблизно встановити закон розподілу похибок в генеральній сукупності. Для більш точного висновку необхідно співставити емпіричну криву з кривою, що передбачається теоретично. З цією метою для кожного інтервалу значень необхідно обчислити теоретичні частоти або частості і по них побудувати теоретичну криву розподілу.

При побудові теоретичної кривої нормального розподілу приймається, що

і σ = S.

Теоретичну частоту обраховуємо за формулою:

.

Величина Zt обчислена для різних значень t і наведена в додатку 1. Значення t для кожного інтервалу розмірів знаходяться за формулою:

.

Отже, для підрахунку теоретичних частот необхідно для кожного інтервалу розмірів за формулою визначити значення t, за таблицею додатку 1 знайти Zt i потім скористатися формулою. При підрахунку теоретичних частот доцільно використовувати допоміжну табл. 4.

Таблиця 4

Обчислення теоретичних частот нормального розподілу

Інтервали розмірів		Середина інтервалуxi	Частота mi		t	Zt	Теоретичначастота	Теоретичначастота (зокругленням)
від	до
80,225	80,231	80,228	1	0,019	2,5	0,0175	1,2	1
80,231	80,237	80,234	8	0,013	1,71	0,0925	6,4	7
80,237	80,243	80,240	18	0,007	0,92	0,2613	18,2	18
80,243	80,249	80,246	26	0,001	0,13	0,3956	27,5	28
80,249	80,255	80,252	22	0,005	0,66	0,3209	22,3	22
80,255	80,261	80,258	11	0,011	1,45	0,1394	9,7	10
80,261	80,267	80,264	2	0,017	2,24	0,0325	2,3	2
Всього			88	88

Для точної побудови теоретичної кривої нормального розподілу обчислюють координати характерних точок кривої нормального розподілу за формулами, які наведені в табл. 2.3 і будується табл. 5

Таблиця 5

Координати характерних точок кривої нормального розподілу

Характерніточки	Абсциса		Ордината
Вершинакривої		80,247		28
Точкаперегину		80,2546		17
		80,2394
Точкаперегину		80,2622		4
		80,2318
Точкаперегину		80,2698		0
		80,2242

Графік теоретичної кривої нормального розподілу поєднується з гістограмою та емпіричною кривою, тобто зображається на рис. 3.

8. Перевірка гіпотези про розподіл випадкової величини

Для перевірки відповідності емпіричного розподілу теоретичному існує ряд критеріїв. В даному прикладі з цією метою використовується критерій Персона χ2:

.

Для зручності обчислення доцільно використовувати табл. 6

Таблиця 6

Допоміжна таблиця для обчислення критерію χ2

Інтервали розмірів		Середина інтервалухi	Частота mi	Теоретичначастота
від	до
80,225	80,231	80,228			1	1	0,125
80,231	80,237	80,234
80,237	80,243	80,240	18	18	0	0	0
80,243	80,249	80,246	26	28	-2	4	0,143
80,249	80,255	80,252	22	22	0	0	0
80,255	80,261	80,258			1	1	0,083
80,261	80,267	80,264
Всього			88	88	0,351

При визначенні критерію необхідно, щоб частота була не менше п’яти. Якщо в будь-якому інтервалі частота буде менше п’яти, то її необхідно об’єднати з сусіднім значенням.

Потім необхідно знайти число k за формулою:

k = m – p – 1,

де p – число параметрів теоретичного розподілe. Для нормального розподілe p=2.

За таблицею додатку Б за знайденими значеннями χ2 і k визначається ймовірність P(x2). Якщо буде виконуватися нерівність Р(χ2) > 0.05, то можна вважати, що емпіричній розподіл відповідає теоретичному (нормальному) і можна використовувати його закономірності для аналізу точності обробки.

Якщо вказана нерівність виконуватися не буде, то як теоретичний розподіл потрібно використовувати інший закон розподілу.