Системы небесных координат (стр. 5 из 6)

360°.

Сумма углов сферического треугольника всегда меньше 540° и больше 180°:

540°

180°.

Разность между суммой трёх углов сферического треугольника и 180° называется сферическим избыткомЕ:

180°.

Площадь сферического треугольника s равна произведению сферического избытка на величину

:

, (8)

где R – радиус сферы, на поверхности которой образован треугольник.

Косинус одной стороны сферического треугольника равен сумме произведения косинусов двух других его сторон и произведения синусов тех же сторон на косину угла между ними:

. (9)

Синусы сторон сферического треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов:

. (10)

или

. (11)

Синус стороны сферического треугольника, умноженный на косинус прилежащего угла, равен произведению синуса другой стороны, ограничивающей прилежащий угол, на косинус третьей стороны минус косинус стороны, ограничивающей угол, умноженный на произведение синуса третьей стороны на косинус угла, противолежащего первой стороне:

. (12)

Полярным треугольником для данного сферического треугольника называется такой сферический треугольник, по отношению сторон которого вершины данного являются полюсами, то есть отстоят от сторон на 90° (рис. 10).

Сумма угла данного сферического треугольника и соответствующей стороны полярного треугольника равна 180°:

(13)

и наоборот:

. (14)

На основе этих свойств полярного треугольника и исходя из (8) – (12), можно получить другие зависимости между сторонами и углами сферического треугольника. Так, например:

.

Эти формулы, равно как и другие, которые могут быть получены на основании выражений (13) и (14), справедливы не только для полярного треугольника, но и вообще для всякого сферического треугольника.

Если в сферическом треугольнике один из углов равен 90°, то треугольник называется прямоугольным. Для решения прямоугольных сферических треугольников наиболее употребительны следующие формулы:

.

Для решения сферических треугольников со стороной a = 90° употребляются следующие формулы:

.

ПЕРЕХОД ОТ ЭКВАТОРИАЛЬНЫХ КООРДИНАТ К ГОРИЗОНТАЛЬНЫМ И ОБРАТНО

В основе преобразований экваториальных координат в горизонтальные лежит сферический треугольник PZM (рис. 11), который называется параллактическим. Вершинами его являются зенит Z, полюс мира P и светило М. Сторона ZP представляет собой дугу небесного меридиана, сторона ZM – дугу вертикального круга, а сторона PM – дугу часового круга. Угол q треугольника называется параллактическим углом.

Переход от экваториальных координат к географическим.

Пусть даны географическая широта

точки наблюдения, склонение светила и его прямое восхождение . Требуется найти зенитное расстояние z и азимут А для некоторого момента Т среднего солнечного времени (местного, поясного или декретного).

Прежде всего необходимо по моменту Т найти местное звёздное время s и вычислить часовой угол

. Затем s и A вычисляются по формулам:

.

Так же возможно использование других формул:

.

Если

, то М нужно брать в первом или третьем квадранте; если , то во втором или третьем квадранте. Если , то ; если , то . Кроме того, всегда .

Для контроля вычислений служит формула:

.

Переход от горизонтальных координат к экваториальным.

Пусть даны географическая широта

точки наблюдения, зенитное расстояние z и азимут A. Требуется найти склонение светила , часовой угол t и прямое восхождение , если известно местное звёздное время s ( ).

Вычисления производятся по следующим формулам:

.

Возможно применение и других формул:

.

Квадранты M и t выбираются из тех же условий, что и в предыдущем случае.

Для контроля вычислений служит формула:

.

ПЕРЕХОД ОТ ЭКВАТОРИАЛЬНЫХ КООРДИНАТ К ЭКЛИПТИЧЕСКИМ И ОБРАТНО

В основе преобразований лежит сферический треугольник РМП (рис. 12). Его вершинами являются: полюс мира Р, полюс эклиптики П и светило М. Сторона ПР равна углу наклона эклиптики к экватору , сторона ПМ равна полярному расстоянию , сторона , где - астрономическая широта светила. Угол , где - астрономическая долгота светила, а угол .

Переход от экваториальных координат к эклиптическим.

Пусть даны прямое восхождение

светила, его склонение и угол наклона эклиптики к экватору . Требуется найти астрономическую долготу светила и его астрономическую широту .

Вычисления производятся по следующим формулам:

.

Возможно применение других формул:

.

Квадрант для М выбирается по знаку

, а лежит в том же квадранте, что и прямое восхождение .

Формула для контроля имеет вид:

.

Переход от эклиптических координат к экваториальным.

Пусть даны астрономическая долгота светила

, его астрономическая широта и угол наклона эклиптики к экватору . Требуется найти прямое восхождение и склонение светила.