Первые научные шаги
Вскоре после сдачи экзамена Гильберт отправляется в свое первое научное путешествие в Лейпциг к Феликсу Клейну, там он посещает лекции Клейна и принимает участие в его семинаре. Личность Клейна не могла не произвести на Гильберта впечатление. Это был красивый человек с темными волосами и черной бородой, со светящимися глазами. Его лекции по математике почитались всеми и распространились даже в Америке. Что касается реакции Клейна на молодого доктора из Кенигсберга, то он заботливо хранил его доклад, с которым Гильберт выступал на семинаре, и позже писал: “Когда я услышал его доклад, я сразу же понял, что у этого человека большое будущее в математике”. В Лейпциге Гильберт познакомился с рядом других математиков. Одним из них был Георг Пик, а другим Эдуард Штуди, основным интересом которого, как и у Гильберта, была теория инвариантов.
В Лейпциге было значительно больше людей, интересующихся теорией инвариантов, однако Клейн направил все свои усилия, чтобы уговорить Штуди и Гильберта ехать на юг в Эрланген навестить своего друга Пауля Гордона, который в то время был известен как “король инвариантов”.
Летом 1886 года Гильберт совершает поездку в Париж, где знакомится с крупными французскими математиками: Пуанкаре, Жорданом, Эрмитом и другими. Возвращаясь обратно, Гильберт впервые посещает Геттингем — маленький уютный городок, в котором ему будет суждено жить и работать большую часть своей жизни. Вернувшись в Кенигсберг, он серьезно занялся хабилитацией. Работа, которую он готовил, была также посвящена теории инвариантов, однако ставила более серьезные цели, чем обычные докторские диссертации. Соискатель хабилитации должен был также прочитать лекцию на одну из выбранных им тем, которая была одобрена факультетом. Гильберт предложил две темы: “Самые общие периодические функции” и “Понятие группы”. Факультет выбрал первую из них, что больше устраивало и Гильберта. Этой лекцией остались довольны все; также успешно прошел и устный экзамен. 8 июля 1886 года Гильберт получил хабилитацию.
Гильберт решил, что, став доцентом, он будет читать лекции на разные темы, не повторяясь, как это делали многие другие, и тем самым будет образовывать не только своих студентов, но и себя самого. В первом семестре Гильберт подготовил лекции по теории инвариантов, определителям и гидродинамике.
Проблема Гордона
В начале 1888 года Гильберт предпринимает еще одно математическое путешествие, его маршрут включает посещение 21 видного математика. Поскольку в то время основной специальностью Гильберта была теория инвариантов, то первым делом он направляется в Эрланген, чтобы повстречаться со знаменитым “королем инвариантов“ — Паулем Горданом.
Пауль Гордан ярко выделялся своей личностью среди математиков того времени. Будучи на двадцать лет старше Гильберта, он довольно поздно занялся наукой. Большой удачей для Гордона было то, что время его первых занятий теорией инвариантов совпало с началом нового этапа в ней. Первые годы ее развития были посвящены исследованию общих законов, которым подчиняются инварианты; на следующем этапе началось методическое построение и классификация инвариантов, что и послужило пищей для Гордана. В начале своей карьеры он сделал первый прорыв в знаменитой проблеме инвариантов. За это ему и присвоили титул “короля инвариантов“. Общая проблема, все еще не решенная и ставшая самой знаменитой в этой теории, была названа в его честь “Проблемой Гордана“.
“Проблема Гордана“ была совсем не похожа на задачи типа “найти x”, с которых начиналась алгебра много веков назад. Это была абстрактная, чисто математическая проблема, вызванная не окружающим нас физическим миром, а развитием самой математики. К этому времени стала известна внутренняя структура всех инвариантных форм. Существовал метод, который позволял выписать все различные инвариантные формы заданной степени от заданного числа неизвестных. Новая проблема имела совершенно другой характер, так как относилась к множеству всех инвариантов. Существует ли базис, т. е. конечная система инвариантов, через которые рационально или полиноминально выражается любой другой из бесконечного числа инвариантов.
Выдающимся достижением Гордана явилось его доказательство, ровно за 20 лет до встречи с Гильбертом, существования конечного базиса для бинарных форм простейших из всех алгебраических форм. Характерно, что оно было основано на вычислениях и использовало структуру некоторых элементарных операций, с помощью которых получались инварианты. В дальнейшие 20 лет, несмотря на усилия многих видных математиков, решение проблемы не сдвинулось с мертвой точки.
Гильберт уже был некоторое время знаком с проблемой Гордана; однако теперь, слушая самого Гордана, он почувствовал ее гораздо глубже, чем раньше. Проблема заняла его воображение почти со сверхъестественной силой.
Здесь налицо была проблема, обладающая всеми чертами великой глубокой проблемы, к которым Гильберт причислял следующие:
· ясная и легко понимаемая (“в то время как ясное и простое привлекает, сложное отталкивает“);
· трудная (“чтобы нас привлекать“) и в то же время не полностью недоступная (“чтобы не сделать безнадежными наши усилия“);
· важная (“путеводная звезда на извилистых тропах к сокрытым истинам“).
Мысли об этой проблеме не оставляли Гильберта во время всего его математического путешествия. Дома, в Кенигсберге, эти мысли не покидали его ни во время работы, ни на отдыхе, ни даже на танцах, которые он так любил посещать. 6 сентября 1888 года Гильберт послал короткую заметку в журнал Геттингенского научного общества. В этой заметке он дал набросок совершенно неожиданного и оригинального способа доказательства теоремы Гордана, годного одновременно для форм от любого числа неизвестных. Эта работа была первым примером черты, характерной для мышления Гильберта, как выразился позже один из его учеников: “Естественная наивность мысли, не покоящаяся на авторитете или предшествующем опыте”. Вскоре после опубликования полного доказательства теоремы знаменитый ”король инвариантов” Гордан изумленно воскликнул: “Это не математика. Это теология!”
Решение Гильберта не было конструктивным, оно лишь доказывало существование базиса, но не давало явной конструкции для его построения. В последующие два года Гильберт не оставляет проблему Гордана, пытаясь дать ей конструктивное доказательство. В 1892 году ему удалось предложить метод, позволяющий за конечное число шагов получить искомую конструкцию.
Хотя Гильберт не был первым, кто использовал косвенные, неконструктивные доказательства, он был первым, кто осознал их глубокое значение и силу, а также смог воспользоваться ими в драматических и чрезвычайно красивых ситуациях.
При решении проблемы Гордана Гильберт нашел себя и свой метод атаки знаменитой проблемы, решение которой по своему значению намного превосходило саму проблему.
В заключении своей работы по теории инвариантов он писал: “Тем самым мне кажется, что важнейшие цели теории функциональных полей инвариантов достигнуты”. После этого Гильберт покидает теорию инвариантов.
Теория чисел
В последующие три года Гильберт повышался в академических рангах и делал то, что делает в этот период времени большинство молодых людей: женился, стал отцом, получил важное назначение. Наряду с переменами в личной жизни и общественном положении Гильберт начал проявлять и новый математический интерес. “Отныне я целиком посвящу себя теории чисел”, — писал он своему другу Минковскому вскоре после окончания последней работы об инвариантах. Теперь он занялся этой новой областью.
Хорошо известно, что Гаусс считал теорию чисел вершиной науки. Он отозвался о ней как о “неистощимом источнике новых истин”. Гильберт относился к теории чисел как к “зданию редкой красоты и гармонии”, его привлекала красота ее фундаментальных законов, малое количество определений и чистота ее истин. Гаусс и Гильберт в равной степени были восхищены различием между очевидностью формулировок и “чудовищной” трудностью их доказательств.
В последующие годы Гильберт интенсивно занимается теорией чисел. Ему удалось найти чрезвычайно легкие и простые доказательства трансцендентности чисел e и pi, а также теорем о разложении алгебраических чисел на простые идеалы. В то время Германское математическое общество ежегодно публиковало обширные обзоры в различных областях математики. Очередной обзор по теории чисел было решено поручить подготовить Гильберту и Минковскому. Гильберт с усердием принимается за новую и интересную для него работу. Хотя до сих пор он не питал склонности к изучению теории по книгам, теперь он прочитал все изданное по теории чисел со времен Гаусса. Доказательства всех известных теорем надо было обдумать. Затем ему следовало отобрать из них те, “идеи которых поддаются обобщению и наиболее перспективны для дальнейших исследований”. Однако для этого необходимо было провести эти “дальнейшие исследования”. Кроме того, нужно было устранять те трудности стиля и мышления предшествующих исследователей, которые ставили преграду для общего понимания и признания их работ. На проведение всех этих обширных работ Гильберту понадобилось три года (Минковский вскоре выбыл из участия в этом проекте). Монументальный обзор Гильберта появился в 1896 году. Представленный Гильбертом труд в бесконечное число раз превосходил все то, на что могло рассчитывать Общество. На самом деле его обзор представляет собой жемчужину литературы. Заполнив пробелы большим количеством своих собственных исследований, Гильберт придал этой теории величественную унифицированную форму.