В 1904 году Гильберт посылает второе сообщение научному обществу, в котором существенно развивает идею Фредгольма. В своей классической работе Фредгольм открыл аналогию между интегральными уравнениями и линейными алгебраическими уравнениями. Гильберт пошел теперь дальше и нашел аналог приведения квадратичной формы от n переменных к главным осям. Используя связанную с этим комбинацию идей анализа, алгебры и геометрии, он развил свою теорию собственных функций и собственных значений. Эта теория, как выяснилось позже, оказалась тесно связанной с физической теорией собственных колебаний.
Гильберт идет дальше и работает над теорией бесконечно многих переменных, которой суждено будет стать венцом его занятий анализом. Эта теория широко известна как теория гильбертова пространства. Из-за своей крайней общности проблема, которой он теперь занимался, казалась почти недоступной даже для Гильберта. Но он смело принялся за нее. В результате всех усилий через несколько лет Гильберт представил Германскому научному обществу свою теорию бесконечно многих переменных. В ней он последовательно развивает общую теорию таких пространств, а также доказывает одну из самых великих своих теорем — спектральную. Эта теорема, подобно теореме о приведении квадратичной формы к сумме квадратов в конечномерных пространствах, позволяет классифицировать так называемые самосопряженные операторы в бесконечномерных пространствах.
Физика
В 1912 году, несмотря на свой пятидесятилетний возраст, Гильберт начинает заниматься совершенно новой для него наукой — физикой. Как математика, его сильно беспокоило отсутствие порядка в триумфальных успехах физиков. Главной целью Гильберта было поставить на прочную аксиоматическую основу все достижения, которых добилась физика за последние годы.
Гильберт занимается физикой вплоть до 1922 года. Урожай, собранный им на этом поле, вряд ли может сравниться с его достижениями в чистой математике. Многообразие экспериментальных фактов, которым приходится принимать во внимание физику, является огромным, их увеличение происходит слишком быстро, а значение и относительный вес слишком изменчивы, чтобы аксиоматический метод смог найти здесь себе твердую опору, разве что это возможно в каких-нибудь прочно установившихся областях физической науки. Поэтому обширным планам Гильберта в области физики так и не суждено было свершиться.
Однако применение им интегральных уравнений в кинетической теории газов и элементарной теории излучения представляет собой значительное достижение. В частности, его асимптотическое решение фундаментального уравнения Масквелла – Больцмана, интегрального уравнения второго порядка, четко разделило два слоя экспериментальных физических законов, к которым приводит эта теория. В своих исследованиях по общей теории относительности Гильберт соединил теорию гравитации Эйнштейна с программой по единой теории поля Г. Ми. Работа Гильберта может рассматриваться как предвестник единой теории гравитации и электромагнетизма.
Основания математики
Вновь вернуться к математике Гильберта заставил глубокий кризис, возникший в ее основаниях. Излюбленный Гильбертом аксиоматический подход начал давать сбои. Первыми предвестниками такого кризиса были парадоксы, открытые в теории множеств. Эти парадоксы были настолько глубокими и затрагивавшими самую суть теории, что среди математиков нашлись те, которые предлагали вообще отказаться от прежнего образа математического мышления. Среди таковых был молодой голландец Брауер. В трех статьях, вместе не занимавших 17 страниц, Брауер высказал сомнение в том, что законы классической логики имеют абсолютную истинность, не зависящую от того, к чему они применяются, и предложил решительную программу, призванную покончить с “кризисом оснований”. Для Брауера ни язык, ни логика не были неотъемлемо связаны с математикой, в основании которой, по его мнению, лежала интуиция, делавшая ее выводы и понятия непосредственно ясными. Брауер, например, отказался принимать логический принцип исключения третьего, т. е. что для любого утверждения A существует только две возможности — либо A, либо не A. В частности, Брауер не принимал принцип исключения третьего для бесконечных множеств, поскольку не существует никакой реальной процедуры, чтобы проверить утверждение за конечное число шагов. Подход Брауера к принципам математики получил название интуиционизм. Для Гильберта программа интуиционизма представляла абсолютно определенную и реальную угрозу математике. Многие из теорем классической математики можно было установить и интуиционистскими методами, более сложным и длинным путем, чем обычно. От многого же пришлось бы отказаться
Гильберт не желал принимать такое “увечье” математики. Ему казалось, что он видел путь, на котором смог бы восстановить элементарную математическую объективность, к которой стремился Брауер, не теряя при этом большую часть самой математики. Это была “теория доказательства”. Гильберт предложил превратить математику в формализованную систему, объекты которой — математические теоремы и их доказательства — выражаются на языке символической логики в виде предложений, имеющих только символическую, а не смысловую структуру. Эти объекты должны быть выбраны так, чтобы адекватно представлять данную математическую теорию, т. е. охватывать совокупность всех ее теорем. Непротиворечивость этой формальной системы (т. е. математики) будет доказываться с помощью методов, которые Гильберт назвал финитными. Под “финитностью” понималось то, что “рассматриваемые рассуждения, утверждения или определения должны находиться в рамках непосредственного общения с объектом, отличаться явной практичностью используемых методов и, в соответствии с этим, их можно было бы эффективно контролировать”. Таким образом можно было бы преодолеть кризис оснований математики и избавиться от него раз и навсегда.
К сожалению, планам Гильберта не суждено было сбыться. В 1930 году Курт Гедель, 25-летний специалист по математической логике, опубликовал статью, в которой был сделан вывод, нанесший смертельный удар по планам Гильберта. В своей статье Геделю удалось доказать со всей строгостью, на которую способна математика, неполноту формализованной теории чисел. Он также доказал теорему, из которой следует, что не существует финитного доказательства непротиворечивости формальной системы, достаточно полной, чтобы формализовать все финитные рассуждения. Тем не менее, подход Гильберта значительно обогатил и поднял на совершенно иной уровень всю математическую логику.
Давид Гильберт умер 14 февраля 1943 года в возрасте 81 года. С его смертью математика потеряла одного из своих великих мастеров. Работы Гильберта во многом послужили той счастливой гармонии, в которой развивается математика по сей день.
Библиографический список
1. Рид К. Гильберт. — М., 1977.
2. Рыбников К. А. История математики. — М.,1994.
3. Строик Д. Я. Краткий очерк истории математики.— М., 1969.
4. Клайн М. Математика. Утрата определенности. — М., 1984.