Сопротивление материалов Теория механизмов и машин (стр. 2 из 16)

Подставляя (2) и (3) в (4) находим абсолютное удлинение

(5)

где

- жесткость бруса при растяжении-сжатии.

При расчетах брус разбивают на участки, границами которых являются:

- сечения, где приложены силы,

- сечения, где меняется площадь,

- сечения, где меняется материал.

Если брус состоит из нескольких участков, то общее удлинение находится суммированием по участкам. Эпюра осевых перемещений.

Если кроме нагрузок действует температура, то общее удлинение по принципу наложения равно

(6)

где

- коэффициент теплового расширения тела

(для стали

)

- изменение температуры.

При изменении длины бруса изменяются и поперечные размеры сечения. Из опыта установлено, что относительная деформация в поперечном направлении

(7)

где

- коэффициент Пуассона, упругая постоянная материала, определяемая экспериментально.

2.2 Потенциальная энергия деформации

Из закона сохранения энергии потенциальная энергия деформации

равна работе продольных сил на перемещение :

Используя формулу (5), получаем

(8)

2.3 Напряжения на наклонных площадках

На наклонных площадках возникают нормальные и касательные напряжения, определяемые по формулам

; (9)

где

- угол наклона площадок.

Отсюда видно, что

при

при

Легко показать, что

; . (10)

Последнее равенство выражает закон парности касательных напряжений: касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по величине и противоположны по направлению.

2.4 Статистически неопределимые системы

Системы, в которых для определения внутренних сил и реакций недостаточно уравнений равновесия называются статистически неопределимыми. Степень статистической неопределимости равна разности между числом неизвестных и числом независимых уравнений статики для данной системы.

Для раскрытия статической неопределимости, кроме уравнений статики составляются дополнительно уравнения совместности перемещений. Число их равно степени статистической неопределимости.

Статистически неопределимым является брус, защемленный по обоим концам. Уравнение совместности перемещений имеет вид:

которое следует выразить через неизвестную реакцию опоры.

Статистически неопределимыми часто являются стержневые системы. Для составления уравнения совместности перемещений надо сначала составить возможный план перемещений. Из него, находя связь между абсолютными удлинениями стержней, что и является уравнениями совместности перемещений. Затем эти уравнения с помощью формулы (5) выражают через усилия в стержнях.

Далее строится план сил. Для этого рассматриваем равновесие какого-либо элемента конструкции или узла. При этом усилия в стержнях должны быть показаны в соответствии с планом перемещений: если на плане перемещений стержень удлинен, то сила направляется на растяжение и наоборот. Из плана сил составляется необходимые уравнения равновесия.

Решая далее совместно уравнения равновесия и уравнения совместности перемещений находим неизвестные силы.

В статически неопределимых стержневых системах при наличии дефектов длины в процессе сборки возникают усилия в стержнях. Они определяются точно так же, как и при силовом нагружении. План перемещений, в этом случае, представляет собой возможный план сборки конструкций. Монтажные напряжения в дальнейшем складываются с эксплуатационными.

В статически неопределимых системах при изменении температуры какого-либо элемента возникают температурные напряжения во всей конструкции. Они определятся точно так же, как и при силовом воздействии. При построении плана перемещений надо учитывать, что изменение длины нагреваемого стержня состоит из температурного расширения и силового сжатия.

ТЕМА 3. Механические характеристики материалов и расчеты на прочность

3.1 Механические характеристики материалов

Опытным путем установлено, что для каждого материала существует характерные напряжения, при которых происходят качественные изменения в материале: переход от упругого в пластическое состояние, появление общей или местной текучести и т.д. Эти напряжения называются механическими характеристиками и определятся экспериментально, путем испытаний на растяжение стандартных образцов с записью диаграммы деформирования.

На рисунке 1 показана диаграмма растяжения малоуглеродистой стали.

Рисунок 1.1 Диаграмма растяжения. Рисунок 1.2. Механические характеристики материалов

На этой диаграмме можно выделить четыре зоны: ОА – зона упругости; АВ – зона общей текучести; ВС – зона упрочнения; СД – зона местной текучести (разрушения). Дать характеристики зон.

Из диаграммы можно определить механические характеристики материалов, если ее перестроить в координатах

(рисунок 2). Различают следующие механические характеристики:

предел пропорциональности - это наибольшее напряжение, до которого материал подчиняется закону Гука;

предел упругости – это наибольшее напряжение, до которого материал не получает остаточных деформаций.

предел текучести- это напряжение, при котором происходит рост деформации без увеличения нагрузки;

предел прочности

Дать понятие истинной диаграммы растяжения. Если нагрузить образец до точки К (рисунок 2), а затем снять нагрузку, то разгрузка пойдет по линии КL. Если теперь нагрузить вновь, то деформирование пойдет по линии LKC, то есть предел пропорциональности материала увеличится. Это явление называется наклепом. Значение наклепа в технике.

Материалы, разрушению которых предшествуют значительные остаточные деформации называются пластичными. Степень пластичности характеризуется остаточным относительным удлинением

и остаточным относительным сужением :

где

- первоначальная длина и площадь сечения образца;

- длина образца и площадь шейки при разрушении.

Чем больше

тем материал пластичнее.

Материалы, которые разрушаются без образования заметных остаточных деформаций, называются хрупкими. На диаграмме таких материалов нет участков общей и местной текучести. По разному ведут себя эти материалы на растяжение и сжатие. Показать диаграмму растяжения и сжатия чугуна. Из диаграммы видно, что хрупкие материалы лучше работают на сжатие.

3.2 Расчеты на прочность по допускаемым напряжениям

Чтобы конструкция была работоспособна необходимо, чтобы максимальные напряжения в ней не превышали определенной величины, характерной для данного материала и условиями работы

где

предельное напряжение для материала;