Сопротивление материалов Теория механизмов и машин (стр. 5 из 16)

Уравнение для

и :

.

при

5.2 Дифференциальные зависимости при изгибе

При изгибе справедливы следующие дифференциальные зависимости при изгибе.

Эти выражения можно использовать для контроля полученных эпюр:

1. Если брус загружен сосредоточенными силами и моментами, то

, эпюра линейна (рисунок 1).

2. Если брус загружен равномерно распределенной нагрузкой, то эпюра

линейна, парабола. (рисунок 2).

3. Если на каком-то участке

, то (чистый изгиб).

4. В той точке, где

момент экстремален (рисунок 2).

5. В сечениях приложения сосредоточенных сил на эпюре

происходит скачок на величину приложенной силы, а на эпюре М возникает излом.

6. Скачок на эпюре моментов может быть только в том сечении, где приложен сосредоточенный момент. Величина скачка равна приложенному моменту.

5.3 Дифференциальные зависимости при изгибе

При изгибе справедливы следующие дифференциальные зависимости при изгибе.

Эти выражения можно использовать для контроля полученных эпюр:

1. Если брус загружен сосредоточенными силами и моментами, то

, эпюра линейна (рисунок 1).

2. Если брус загружен равномерно распределенной нагрузкой, то эпюра

линейна, парабола. (рисунок 2).

3. Если на каком-то участке

, то (чистый изгиб).

4. В той точке, где

момент экстремален (рисунок 2).

5. В сечениях приложения сосредоточенных сил на эпюре

происходит скачок на величину приложенной силы, а на эпюре М возникает излом.

6. Скачок на эпюре моментов может быть только в том сечении, где приложен сосредоточенный момент. Величина скачка равна приложенному моменту.

ТЕМА 6. Напряжения при изгибе. Изгиб с кручением

6.1 Нормальные напряжения при чистом изгибе

Рассмотрим чистый изгиб (

). Показать, что при этом выполняется закон плоских сечений. Дать понятие нейтрального слоя и нейтральной линии. Геометрическое место точек в поперечном сечении (ПС), где напряжения равны нулю, называется нейтральной линией (НЛ). Показать, что при прямом изгибе НЛ совпадает с главной центральной поперечной осью сечения (осью ).

Показать, что при изгибе кривизна бруса определяется формулами

, (1)

где

радиус кривизны оси бруса; угол поворота сечения; изгибающий момент (из эпюры); модуль упругости материала; главный момент инерции сечения; жесткость бруса при изгибе.

Далее вывести формулу для определения нормального напряжения при изгибе

(2)

где

координата точки в ПС, где определяется напряжение.

Отсюда видно, что нормальные напряжения по высоте сечения изменяются линейно и достигают максимума в точке наиболее удаленной от нейтральной линии:

, (3)

где

осевой момент сопротивления

Для прямоугольного сечения

Для круглого сечения

Для стандартных прокатных профилей берется их таблиц сортамента.

Показать, что при изгибе более экономичными являются стандартные прокатные профили (двутавры, швеллеры и т.д.)

6.2 Касательные напряжения при изгибе

Рассмотрим прямой поперечный изгиб. При этом нормальные напряжения с небольшой погрешностью определяются по формулам (2) и (3), а от действия поперечных сил

в ПС появляются касательные напряжения, определяемые по формуле Жуковского

(4)

где

ширина сечения на том уровне, где определяется напряжение (рисунок 1);

Рисунок 1

статический момент отсеченной (заштрихованной) части сечения относительно оси .

Характер изменения

по высоте сечения очень сложный, так как параметры и зависят от . В верхней и нижней точках контура сечения , из-за того, что в них . Для не тонкостенных сечений максимальные касательные напряжения возникают примерно на середине высоты сечения и имеют порядок , площадь сечения. Так для прямоугольного и круглого сечения

и соответственно

6.3 Потенциальная энергия деформации

Она равна работе, совершаемой моментом на угле поворота

для бруса длиной :

С учетом (1) для бруса длиной

получаем

(5)

6.4 Условие прочности

Анализ показывает, что максимальные нормальные напряжения при изгибе намного превышают максимальные касательные напряжения. В той точке, где нормальные напряжения достигают максимума, касательные напряжения равны нулю и наоборот. Поэтому условие прочности при изгибе имеет вид

О подборе различных сечений. О проверке сечения по касательным напряжениям. О необходимости полной проверки тонкостенных сечений.

6.5 Напрянно-деформированное состояние в точке

Если из нагруженного тела выделить элементарный параллелепипед, то на его гранях в общем случае возникают 6 компонент напряжений (рис 2.)