Классификация объектов нечисловой природы на основе непараметрических оценок плотности (стр. 2 из 3)
и их меры
Предположим, что
как функция 
при фиксированном 
непрерывна и строго возрастает. Введем функцию 
Это - монотонное преобразование расстояния, а потому
- метрика или симметрика (т. е. неравенство треугольника может быть не выполнено), которую, как и 
, можно рассматривать как меру близости между и 
.Введем
.Поскольку
определена однозначно, то 
^где
., а потому 
Переход от
к 
напоминает классическое преобразование, использованное Н. В. Смирновым, 
, переводящее случайную величину 
с непрерывной функцией распределения 
в случайную величину 
, равномерно распределенную на [ 0, 1]. Оба рассматриваемых преобразования существенно упрощают дальнейшие рассмотрения.Преобразование
зависит от точки , что не влияет на дальнейшие рассуждения, поскольку ограничиваемся изучением сходимости в точке.Функцию
, для которой мера шара радиуса 
равна , называют [4] естественным показателем различия или естественной метрикой. В случае пространства 
и евклидовой метрики имеем 
где
-объем шара единичного радиуса в .Поскольку можно записать, что
где
то переход от
к соответствует переходу от 
к 
. Выгода от такого перехода заключается в том, что утверждения приобретают более простую формулировку.ТЕОРЕМА 1. Пусть
- естественная метрика, 
Плотность
непрерывна в и ограничена на 
, причем 
. Тогда 
, оценка 
является состоятельной, т. е. 
по вероятности при 
, 
Теорема 1 доказана в [4]. Однако остается открытым вопрос о скорости сходимости ядерных оценок, т. е. о поведении величины
и об оптимальном выборе показателей размытости
.Введем круговое распределение
и круговую плотность 
.ТЕОРЕМА 2. Пусть ядерная функция
непрерывна и 
при 
. Пусть круговая плотность допускает разложение 
причем остаточный член равномерно ограничен [0, 1,....,
]. Пусть 
Тогда
Величина
достигает минимума, равного 
при
что совпадает с классическими результатами для
(см. [9, с316]). Заметим, что для уменьшения смещения оценки приходится применять знакопеременные ядра 
.В случае дискретных пространств естественных метрик не существует. Однако можно получить аналоги теорем 1 и 2 переходя к пределу не только по объему выборки
, но и по параметру дискретности 
.Пусть
- последовательность конечных пространств, 
- расстояния в 
для любого 
.Положим
, 
, 
,Тогда функции
кусочно постоянны и имеют скачки в некоторых точках 
, причем 
.ТЕОРЕМА 3. Если
при 
(другими словами, 
при ), то существует последовательность параметров дискретности 
такая, что при , , 
справедливы заключения теорем 1 и 2.