Визначення деформації балок при згині (стр. 2 из 4)
Знак мінус означає, що перетин повернувся по годинній стрілці. Для оцінки числових значень деформацій візьмемо Р = 2 • 104 Н, l == 2м, [s] = 14 • 107 Па. Перетин двотаврової балки знайдемо по сортаменті. Умова міцності
відкіля 
Візьмемо балку № 24, для якої W = 289 див3, j =. 3460 cм4.
Приймемо Е=2 •1011 Па. Одержимо fB = - 0,78 см;
рад;max fB складає
частку прольоту; 
, і, звичайно, цим значенням можна зневажити в порівнянні з одиницею (6).Приклад 2. Розглянемо консольну балку, навантажену суцільним навантаженням q, Н/м (мал. 6). Повторюючи те ж, що й у попередньому прикладі, знайдемо
(тут A =ql; 
).
Будемо інтегрувати рівняння
(21)Звівши (l — х) у квадрат і інтегруючи тричлен, як і в попередньому прикладі, для довільних постійних одержимо нульові значення. Застосуємо інший прийом інтегрування, що представляє інтерес при рішенні задач з більш складним навантаженням. Оскільки dx == —d (l — х), то, не розкриваючи вираження (l — х)2 і інтегруючи перший раз по [—d (I — х)]. одержуємо
(22)Інтегруючи далі, одержимо
(23)Постійні інтегрування визначаємо із граничних умов при х = 0
з вираження (22) знайдемо 
; при х = 0 у = 0, і з вираження (23) знайдемо постійну 
Підставляючи С и D у рівняння (22) і (23), остаточно знайдемо рівняння кутів повороту і прогинів
(24) (25)Найбільші деформації на правому кінці балки при х == I відповідно рівні
(26) (27)4. Інтегрування диференціального рівняння вигнутої осі балки при двох чи декількох ділянках
Якщо згинальний момент на різних ділянках балки виражається різними формулами, приходиться складати стільки диференціальних рівнянь, скільки ділянок на балці. Візьмемо балку на двох опорах, із завантаженням, розмірами і початком координат, як зазначено на мал. 8.7.
Мал. 8.7
Опорні реакції балки рівні
Згинальні моменти на ділянках / і // виражаються різними формулами, тому треба взяти два довільних перетини х1і х2 і написати два диференціальних рівняння (розглядаємо ліві частини балки)
(28) (29)Інтегруючи ці рівняння, одержуємо:
перша ділянка
(3о)друга ділянка
(31)У вираження для у і q увійшли чотири постійних інтегрування, удвічі більше, ніж число ділянок. Для їхнього визначення необхідно мати 4 граничні умови, де що-небудь відомо про прогини і кути повороту. Такими перетинами будуть опорні перетини А і В і перетин С — перетину розділу між ділянками І і ІІ.
Значення у і q у перетині С можна обчислити з формул як для першої ділянки, так і для другої, тобто при х1 = х2 = d повинний бути у1 = у2 і q1 = q2 Таким чином, одержимо дві умови:
(32) (33)тобто точка розділу завжди дає нам дві умови. Дві інших умови одержимо на опорах
у перетині А при х1 = 0 прогин у1 = 0; (34)
у перетині В при х2 = l прогин у2 = 0. (35)
Підставляючи перші рівняння виражень (30) і (31) в умову (32) при умові х1 = х2 = а, одержуємо
С1 = С2. (36)
Аналогічно з умови (33) з обліком других рівнянь (30) і (31) при х1 = х2 = а, одержимо
D1 = D2 (37)
тобто постійні інтегрування для обох ділянок виявилися однаковими завдяки прийнятому методу складання й інтегрування диференціальних рівнянь.
Застосовуючи умову (34) до другого рівняння (30), одержимо D1 = 0, а отже, і D2 = 0. Застосовуючи ті ж рівняння (35) до другого рівняння (31), одержимо
(38)Тепер формули (30) і (31) для y і q запишуться так;
перша ділянка
(39)друга ділянка
(40)З'ясуємо найбільший прогин f. Він буде в перетині, для якого q = 0.
З формули для q1 бачимо, що при х1 = 0 (у перетині A)
(41)у перетині C при x1 = а
(42)Таким чином, q1 між точками A и С змінює знак, тобто переходить через нуль. Виходить, найбільший прогин буде на першій ділянці. Для перебування абсциси
відповідного перетину необхідно, щоб q1=0 
, відкіля 
(43)Підставляючи це значення
у формулу для у1 одержуємо 
(44) 
Мал.8.
Відстань перетину з найбільшим прогином від лівої опори буде мінятися зі зміною положення вантажу.
Якщо сила P знаходиться посередині прольоту, то
(45)Якщо сила P наближається до опори В, тобто b® 0, то
(46)Таким чином, при переміщенні Р від середини прольоту до опори між точками D і В (мал. 8) абсциса точки з найбільшим прогином міняється усього від 0,5l до 0,577 l між точками D і F.
При розташуванні вантажу на мал. 7 прогин посередині прольоту дорівнює
(47)і, роблячи числові підрахунки, легко переконатися, що він мало відрізняється від fmax (44).
Приведені міркування дозволяють зробити практично важливий висновок: при дії будь-яких навантажень, що згинають балку в одну сторону, найбільший прогин для балки на двох, опорах буде посередині прольоту.
У цьому параграфі показано, що при визначеному порядку складання й інтегрування диференціальних рівнянь можна число постійних скоротити до двох: С i D. При більшому числі ділянок завантаження таке скорочення значно спрощує підрахунки Рівність між собою довільних постійних (С1 = С2 =... = С і D = D2 = … = D) можливо при визначеному порядку складання й інтегрування диференціальних рівнянь.
5. Метод початкових параметрів
Аналіз попередніх рішень показує, що при деякім перетворенні диференціальні рівняння можна скласти так, що вони будуть придатні при будь-якому виді завантаження. Зосереджені сили P1, Р2? …, розташовані на відстанях l1, l2, l3, … від початку координат, у рівняннях прогинів запишуться так:
(48)Зосереджені моменти М1, М2,... з тими ж відстанями від початку координат дадуть у рівнянні
(49)Рівномірно розподілені навантаження q1, q2,..., що починаються у відстанях l1, l2, … від початку координат і розташовані далі неперервно, дають вираження
(50)Помітимо, що коефіцієнт у знаменниках (84)... (50) не що інше, як
24 = 1 • 2 • 3. 4 = 4!
6 = 1 • 2 • 3 = 3!
2 = 1 • 2 = 2!
1 = 1 = 1! (51)
Довільні постійні при прийнятому вище порядку складання виражень М(х) і порядку інтегрування будуть на всіх ділянках однакові і можуть бути замінені через збільшені в EJ раз прогин у0 і кут повороту q0 на початку координат (звідси і метод початкових параметрів).
Розташовуючи члени рівнянь по висхідним ступенях х, заміняючи l1, l2, … через l0 і підсумовуючи всі однотипні члени, можемо скласти наступні загальні рівняння пружної лінії: