Технология конструкционных электротехнических материалов (стр. 5 из 14)

Такое направленное движение называют дрейфом электронов, оно накладывается на хаотическое движение электронов. Скорость дрейфа значительно меньше скорости теплового движения. Направленное движение электронов создает ток, плотность которого равна

, (5.7)

где n – концентрация электронов.

Этот ток пропорционален напряженности поля, коэффициентом пропорциональности является удельная электрическая проводимость

. (5.8)

Классическая теория, давая в целом правильное представление о механизме электропроводности, не учитывает распределение электронов по энергетическим состояниям. Поэтому она не может объяснить ряд противоречий теории с опытными данными, в частности, классическая теория не в состоянии объяснить низкую теплоемкость электронного газа. Более полное представление о процессах, происходящих внутри вещества, дает современная квантовая физика [2, С.58].

Электропроводность создается свободными электронами, способными покинуть атомы. Такой способностью обладают только валентные электроны. Поэтому в дальнейшем речь пойдет только об электронах, находящихся на энергетических уровнях валентной зоны.

Квантовая физика исходит из того, что электроны могут находиться на строго определенных энергетических уровнях, энергетическая плотность которых вблизи границ энергетических зон изменяется по параболическому закону (рисунок 5.2 а)

, (5.9)

где

– эффективная масса электрона, учитывающая взаимодействие электрона с периодическим полем кристаллической решетки, то есть это масса свободного электрона, который под действием внешней силы смог бы приобрести такое же ускорение, как и электрон в кристалле под действием той же силы.

Рисунок 5.2 – Энергетическая плотность энергетических уровней электронов

В соответствии с принципом Паули на каждом энергетическом уровне могут находиться два электрона с противоположными спинами. Если концентрация свободных электронов равна n, то при температуре абсолютного нуля они займут n/2 самых низких энергетических уровней. Наиболее высокий из занятых уровней называется уровнем Ферми и обозначается Ет. При нагреве кристалла электронам сообщается тепловая энергия порядка kT, вследствие чего некоторые электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми, переходят на более высокие энергетические уровни. Избыток энергии, получаемый электронами при нагреве проводника, очень незначителен по сравнению с энергией Ферми, при комнатной температуре он равен 0,026 эВ (1 эВ = 1,61019 Дж). Поэтому средняя энергия свободных электронов сохраняется практически неизменной, а незначительное изменение средней энергии означает малую теплоемкость электронного газа. В квантовой теории вероятность заполнения энергетических уровней электронами определяется функцией Ферми–Дирака (рисунок 5.2,б)

. (5.10)

Из формулы (5.10) следует, что уровень Ферми представляет собой энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна 1/2.

Распределение электронов по энергиям (рисунок 5.2, в) определяется энергетической плотностью разрешенных уровней и вероятностью их заполнения

. (5.11)

Концентрация электронов может быть найдена путем интегрирования по всем заполненным состояниям

. (5.12)

Если считать, что атомы в металле ионизированы однократно, то концентрация свободных электронов будет равна концентрации атомов, которая рассчитывается по формуле

, (5.13)

где d – плотность материала;

А – атомная масса;

N0 – число Авогадро (6,02 · 1023 моль-1).

Следовательно, уровень Ферми, отсчитанный от дна валентной зоны, может быть найден из уравнения (5.12)

. (5.14)

Величина энергии Ферми для различных металлов лежит в пределах от 3 до 15 эВ. Если в проводнике создать электрическое поле с напряженностью Ет , то электроны, расположенные вблизи уровня Ферми, переходят на более высокие энергетические уровни, приобретая добавочную скорость направленного движения

, (5.15)

где τf – время свободного пробега;

uf – тепловая скорость быстрых электронов, обладающих энергией, близкой к энергии EF.

Электроны, находящиеся на глубинных уровнях, вероятность заполнения которых равна 1, непосредственно реагировать на внешнее поле не могут, так как все ближайшие энергетические уровни заняты. Однако несмотря на это они участвуют в процессе электропроводности, перемещаясь на более высокие энергетические уровни по мере их освобождения. Поле начинает влиять на эти электроны тогда, когда они оказываются вблизи уровня Ферми. Таким образом, под действием поля в движение приходит весь «коллектив» электронов. Скорость движения этого «коллектива» определяется скоростью движения электронов, находящихся вблизи уровня Ферми. С учетом этого обстоятельства выражение для плотности тока принимает вид

, (5.16)

где

– удельная электрическая проводимость.

Учтем, что

. (5.17)

Найдем отсюда

и, подставив найденное значение в (5.16), получим

. (5.18)

Концентрация свободных электронов в чистых металлах различается незначительно. Поэтому удельная электрическая проводимость металлов определяется средней длиной свободного пробега электронов, которая зависит от структуры атомов и типа кристаллической решетки [2, С.61].

В чистых металлах с идеальной кристаллической решеткой единственной причиной, ограничивающей длину свободного пробега электронов, являются тепловые колебания атомов в узлах кристаллической решетки, амплитуда которых возрастает с ростом температуры. Интенсивность столкновений электронов с атомами, то есть их рассеяние, прямо пропорциональна поперечному сечению сферического объема, занимаемого колеблющимся атомом, и концентрации атомов. Следовательно, длина свободного пробега будет равна

. (5.19)

Потенциальная энергия атома, отклонившегося на величину

от узла кристаллической решетки, определяется соотношением

. (5.20)

Здесь

– коэффициент упругой связи, которая стремится вернуть атом в положение равновесия.

Поскольку средняя энергия колеблющегося атома равна kТ, то

. (5.21)

Решая (5.21) относительно (

)2 и подставляя полученный результат в (5.19), определяем среднюю длину свободного пробега электрона

. (5.22)

Следовательно, удельная электрическая проводимость с ростом температуры уменьшается, а удельное электрическое сопротивление

возрастает. Влияние температуры на сопротивление проводника оценивают температурным коэффициентом удельного сопротивления

. (5.23)

У большинства металлов при комнатной температуре

0,004 К-1. Если в металле имеются примеси, то помимо рассеяния на основных атомах возникает рассеяние электронов на примесных атомах, в результате чего уменьшается длина свободного пробега, определяемая соотношением

. (5.24)

Здесь

и характеризуют рассеяние на тепловых колебаниях основных атомов и примесей соответственно.

Этим объясняется то, что чистые металлы имеют более низкое удельное сопротивление по сравнению со сплавами.

На высоких частотах плотность тока изменяется по сечению проводника. Она максимальна на поверхности и убывает по мере проникновения в глубь проводника. Это явление называется поверхностным эффектом.