Выбор оптимального места строительства очистного сооружения (стр. 3 из 3)
По теореме Банаха последовательность приближений стремится к корню уравнения
. 
Рисунок 1 - Иллюстрация метода Ньютона (синим изображена функция
, нуль которой необходимо найти, красным — касательная в точке очередного приближения 
). Здесь мы можем увидеть, что последующее приближение 
лучше предыдущего .Геометрическая интерпретация
Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка и берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность.
Пусть
— определённая на отрезке 
и дифференцируемая на нём вещественнозначная функция. Тогда формула итеративного исчисления приближений может быть выведена следующим образом: 
где α — угол наклона касательной в точке
.Следовательно искомое выражение для
имеет вид: 
Итерационный процесс начинается с некоего начального приближения x0 (чем ближе к нулю, тем лучше, но если предположения о нахождении решения отсутствуют, методом проб и ошибок можно сузить область возможных значений, применив теорему о промежуточных значениях).
Алгоритм
1. Задается начальное приближение x0.
2. Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять
или 
(то есть погрешность в нужных пределах), вычисляют новое приближение: 
.2. Решение задачи в Mathcad 14
2.1 Первый способ - Сопряженный градиент
| Начальное приближение |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
| Функция Minimize ищет минимум Функции методом сопряженного градиента |
 |
 |
 |
Таким образом координаты оптимального места строительства очистного сооружения
Х=4.585, У=5.654 дают минимум затрат R=23890
2.2 Второй способ - Квази-Ньютон
При разных дополнительных параметрах. Результат одинаков
Дает такой же ответ
| |
 |
Таким образом координаты оптимального места строительства очистного сооружения
Х=4.585, У=5.654 дают минимум затрат R=23890
Заключение
Были рассмотрены градиентные методы нахождения экстремумов функции :
1. Метод Ньютона,
2. Сопряженных градиентов,
3. Покоординатного спуска (Гаусса—Зейделя),
4. Скорейшего спуска( метод градиента)
Была решена задача нахождения координат очистительного предприятия исходя из условия достижения минимум затрат градиентными методами – Ньютона и сопряженных градиентов. Таким образом, координаты оптимального места строительства очистного сооружения
Х=4.585, У=5.654 дают минимум затрат R=23890
Список использованной литературы
1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов. — М.: Высш. шк., 1986.
2. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. — М.: Мир, 1985.
3. Коршунов Ю.М., Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. — М.: Энергоатомиздат, 1972.
4. Максимов Ю.А.,Филлиповская Е.А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования. — М.: МИФИ, 1982.
5. Максимов Ю.А. Алгоритмы линейного и дискретного программирования. — М.: МИФИ, 1980.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. — С. 575-576.
7. http://ru.wikipedia.org