Система автоматического управления положением объекта (стр. 4 из 5)
Для анализа устойчивости системы и синтеза корректирующего устройства используется аппарат передаточных функций. С этой целью система разделяется на звенья направленного действия. Совокупность этих звеньев с линиями связи образует структурную схему системы, которая представлена на рисунке 7. Методика динамического расчёта взята из учебного пособия ”Расчет систем управления” /3/.
WПУ(p) – передаточная функция предварительного усилителя;
WУМ(p) – передаточная функция усилителя мощности;
WЭД(p) – передаточная функция электродвигателя.
Рисунок 8 – Структурная схема анализируемой системы
3.1 Определение передаточных функций системы
По результатам статического расчета составим передаточные функции для отдельных элементов регулятора и всей системы.
Передаточная функция для электродвигателя постоянного тока:
.
Передаточная функция усилительного устройства:
. 
Передаточные функции элемента сравнения и редуктора равны их коэффициентам передачи:
Передаточная функция разомкнутой системы:
 |
(6)
Передаточная функция замкнутой системы:
, 
где знаменатель представляет собой характеристический полином:
(7)Анализируя выражение (6) можно сказать о том, что проектируемая система представляет собой систему четвёртого порядка и является астатической (астатизм первого порядка).
3.2 Построение логарифмических характеристик
Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) разомкнутой системы определяется из формулы (6) путём замены p=jω:
(8)Выделим мнимую и действительную часть из выражения (8):
,где амплитудно-частотная характеристика представляет собой:
, (9) 
фазо-частотная характеристика:
(10) 
Переходя к логарифмическим характеристикам, используя выражение (9), получим логарифмическую амплитудную характеристику (ЛАХ) разомкнутой системы.
. (11)Определим частоты сопряжения:
Построим ЛАХ не скорректированной системы. На частоте ω=1 отложим ординату 20lgК=45,8 дБ. Проведём через эту точку прямую с наклоном –20дБ/дек до частоты сопряжения ωм. На частотах ω < ωм пренебрегаем последними тремя слагаемыми выражения (11). Выражение для ЛАХ на этом участке примет вид:
.На частотах ω1<ω<ω2 в силу вступает третье слагаемое выражения (11). На этом участке наклон ЛАХ составляет –40дБ/дек до частоты сопряжения ωу, 1/с. Выражение для ЛАХ на этом участке примет вид:
.На участке частот ω2<ω<ω3 можно пренебречь лишь последним слагаемым в выражении (11). Здесь наклон составит –60дБ/дек до частоты сопряжения ωкз=33 1/с, а выражение для ЛАХ будет:
.При частотах более ωкз учитываются все составляющие выражения (11) и наклон кривой составляет –80 дБ/дек.
Расчётные данные для построения ФЧХ разомкнутой не скорректированной системы сведены в таблицу 8. Характеристики L(ω) и φ(ω) представлены на рисунке 7.
Таблица 9 – Расчетные данные для построения ФЧХ не скорректированной системы
 ω, 1/c | 1 | 4 | 7 | 10 | 15 | 40 | 100 | 300 | 700 | 1000 | 4000 |
| φ(ω),град | -97 | -117 | -137 | -154 | -180 | -259 | -315 | -345 | -353 | -355 | -359 |
Логарифмические характеристики разомкнутой не скорректированной системы приведены в приложении А.
При устойчивой разомкнутой системе замкнутая система устойчива, если разность между числом переходов фазовой характеристики сверху вниз и снизу вверх через линию -180 градусов в той области графика, где ЛАХ положительна, равна нулю.
Из взаимного расположения построенных характеристик видно, что система неустойчива.
3.3 Проверка устойчивости системы по критерию А.В. Михайлова
Воспользуемся передаточной функцией разомкнутой системы
и составим характеристическое уравнение
1+W(p)=0,
p∙(1+Tмp) ∙ (1+Tуp) ∙ (1+Tкзp)+К=0,
ТМ∙ТУ∙ТКЗ∙р4+(ТМ∙ТУ+ТМ∙ТКЗ+ТУ∙ТКЗ) ∙р3+(ТМ+ТУ+ТКЗ) ∙р2+р+К=0,
или
а0р4+а1р3+а2р2+а3р+а4=0,
где
а0= ТМ∙ТУ∙ТКЗ=0,052∙0,035∙0,03=0,0000548,
а1= ТМ∙ТУ+ТМ∙ТКЗ+ТУ∙ТКЗ=0,052∙0,035+0,052∙0,03+0,035∙0,03=0,00444,
а2= ТМ+ТУ+ТКЗ=0,052+0,035+0,03=0,117,
а3=1,
а4=К=195.
Подставляя значения коэффициентов а0, а1, а2, а3, а4, получим:
0,0000548р4+0,00444р3+0,117р2+р+195=0.
Сделав замену p=jω, характеристический многочлен будет иметь вид:
N(ω)=0,0000548ω4-j0,00444ω3-0,117ω2+ω+195=X(ω)+jY(ω),
где
X(ω)=195-0,117ω2+0,0000548ω4,
Y(ω)=ω- 0,00444ω3.
Задаваясь значениями ω от 0 до ∞ при известных коэффициентах а0, а1, а2, а3, а4, для каждого значения ω, находим X(ω) и Y(ω) и составляем таблицу значений для построения годографа.
Таблица 10 – Расчетные данные для построения годографа Михайлова
| w, 1/с | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| X(w) | 195 | 192 | 184 | 171,5 | 157 | 143 | 134 |
| Y(w) | 0 | 4,4 | 5,5 | 0 | -15 | -44 | -90 |
По этим значениям на комплексной плоскости X(ω),Y(ω) строим график. Это и будет характеристическая кривая Михайлова или годограф Михайлова. Годограф Михайлова изображен на рисунке 9. Данный годограф построен при использовании программы MathCad.
Рисунок 9 – Годограф А.В. Михайлова
Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора N(jω), начинаясь при ω=0 на вещественной оси, с ростом частоты от нуля до бесконечности обходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, где n – порядок характеристического уравнения замкнутой системы.
Из графика видно, что система неустойчива, так как нарушен порядок обхождения годографом квадрантов комплексной плоскости.
3.4 Построение желаемой ЛАХ системы
Построение желаемой ЛАХ в случае гармонического воздействия строится в следующем порядке:
1. Через точку с координатами (ω=1; L(ω)=20lgК) проводится прямая с наклоном -20 дБ/дек. На оси абсцисс отмечается точка ω0=
, где Т1 - наибольшая постоянная времени системы, ω0=61 1/с. Через неё проводят прямую –40дБ/дек до пересечения с первой прямой.2. Согласно техническому заданию запас по фазе составляет φ=40º, для расчета примем φ=45. По этому значению, пользуясь графиком В.В. Солодовникова, взятого из /2/, найдём ординаты границ среднечастотной зоны L2 = 16 дБ и L3 = -16 дБ. Проводим две горизонтальные прямые: одну на расстоянии L2, вторую на расстоянии L3 от оси абсцисс. Верхняя прямая пересекается с низкочастотной зоной в точке с абсциссой ω2Ж=28,5 1/с. Через эту точку проводится прямая с наклоном –20 дБ/дек до пересечения с нижней горизонтальной прямой в точке с абсциссой ω3Ж=1000 1/с.
3. Высокочастотную зону представим прямой с наклоном -60дБ/дек.
Построенная желаемая ЛАХ представлена в приложении А и описывается формулой:
где:
Ей соответствует фазо-частотная характеристика: