Иерархия механики разрушения (стр. 3 из 6)

Рассмотрим теперь магнит при высоких температурах. Здесь беспорядок уже неполный. Всегда существуют локальные образования, в которых атомные магниты выстроены в линию. И вновь огрубление шкалы - масштабное преобразование - приводит к исчезновению этих небольших когерентных областей. При достаточно грубой шкале магнит выглядит точно так же, как и при бесконечно высокой температуре.

Эта стратегия напоминает процесс принятия решений. Чтобы оценить сложную ситуацию, часто бывает полезным рассматривать ее со все возрастающего расстояния. При этом детали размываются (становятся неразличимыми) и картина становится более ясной.

Суть этой идеи в том, чтобы связать масштабные преобразования с изменениями температуры. Если один и тот же магнит при заданной температуре рассматривать в различных масштабах, то он будет выглядеть так, как будто его температуры различны. Можно говорить, что масштабное преобразование вызывает соответствующую перенормировку температуры.

Рассмотрим магнит из N атомов с межатомным расстоянием а и с температурой Т. Если взять достаточно грубый масштаб, в котором элементарная ячейка содержит b³ атомов, а длина ее стороны равна a =b*a, то магнит будет выглядеть так, как будто он состоит из N=N/b³ атомов и имеет другую, пере нормированную температуру Т. Соотношение Т=R_b(T) называется преобразованием перенормировки.

Наше качественное обсуждение продемонстрировало, что это преобразование имеет два аттрактора, две точки притяжения: температуры Т = 0 и T=¥ . Действительно, в случае низких температур перенормировка температуры, связанная с переходом на более грубые масштабы, еще больше ее снижает, а при высоких температурах, наоборот, еще больше повышает.

Будем говорить, что низкие температуры находятся в области притяжения аттрактора Т = 0, а высокие - в области притяжения аттрактора Т = ¥ . Точки Кюри Т_с - граница между двумя областями притяжения. Когда магнит находится при этой температуре, он выглядит одинаково при любых масштабах, а его температура не изменяется при перенормировке R_b(Т_с) = Т_с просто потому, что он не может “решить”, к какому аттрактору ему следует направиться, На языке динамических систем мы говорим, что Т_с - репеллер процесса перенормировки. Если температура магнита даже весьма незначительно отклоняется от Т_с, то это отклонение увеличивается перенормировкой, а повторения (итерации) этого процесса ведут к одному из известных случаев, т. е. к идеальному порядку (Т=0) или к полному беспорядку (Т=¥ ).

Будем считать, что при Т = Т_с в магните существуют когерентные (согласованные) флуктуации любых масштабов, сплетенные воедино: малые флуктуации включены в большие и т. д. Короче говоря, флуктуации при критической температуре имеют самоподобную форму.

2.2.3. Перенормировка

В конечном итоге, используя эту основную идею, удалось получить количественные результаты и вполне удовлетворительно объяснить физику фазовых переходов. Путь от идеи перенормировки до ее конкретной законченной формы оказался столь трудноуловимым, что Каданову не удалось его отыскать. В 1970 году К. Г. Вильсону в Корнелльском университете удалось преодолеть эти трудности. Он развил метод перенормировок, превратив его в технический инструмент, который доказал теперь свою ценность в огромном числе приложений.

Развитие идеи перенормировки от предвидения Каданова до практического метода Вильсона имело любопытный побочный эффект: интуитивно ясная картина самоподобных флуктуаций в критической точке постепенно отошла на задний план, а сам метод стал весьма технически сложным и менее понятным.

Исследователи стали заниматься в основном вопросом о том, как быстро перенормировка выводит из окрестности критической точки. Кажется удивительным, что для объяснения экспериментальных результатов, касающихся феноменологии фазовых переходов, не нужно было явно использовать самоподобные структуры.

Однако недавно в теории перенормировок неожиданно появились фрактальные границы раздела фаз. При этом обнаружилась интуитивно привлекательная (хоть пока еще и не связанная с экспериментом) связь с идеей Каданова о самоподобии [2].

2.3. Фрактальные структуры

Иногда для описания сложных иерархических систем удобно применять фрактальный подход.

Фракталы - понятие, которое возникло в конце 80-х годов благодаря работам Б. Мандельброта [3]. Согласно его собственному пробному определению фрактал - это структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому [4]. Иными словами, вырезав небольшую часть из структуры, имеющей свойства фрактальности, мы можем рассмотреть ее в некотором увеличении и обнаружить, что она подобна всей структуре в целом. Вырезав еще более мелкую часть из уже вырезанной части и увеличив ее, мы обнаружим, что и она подобна первоначальной структуре. Если рассматривать идеальную фрактальную структуру, такую операцию мы можем проделывать до бесконечности, и даже самые микроскопические частички будут подобны структуре в целом. Реальные же объекты имеют довольно четко ограниченный интервал масштабов, в которых они проявляют свою фрактальную природу.

Распространенность фрактальных структур в природе невообразима. Фрактальны пористые минералы и горные породы; расположение ветвей, узоры листьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лимфатическая и др. системы в организмах животных и человека; реки, облака, линия морского побережья, горный рельеф и многое другое. Мало того, фрактальны практически все поверхности твердых тел. В последнее время появляются теории фрактального строении физического вакуума.

Свойство частей быть подобными всей структуре в целом называют самоподобием. Интервал самоподобия различных природных объектов может содержать масштабы от долей микрометра при рассмотрении структуры пористых горных пород [5] и сплавов металлов до десятков километров при рассмотрении рельефа местности [6] и формы облаков. В качестве примеров естественных (природных) фракталов можно привести деревья, облака, реку и разветвленную сеть ее притоков, систему кровообращения человека, "морозные" узоры на стекле и т.д. Самоподобие предполагает, что копирование и масштабирование некоторого "эталонного" образа позволяет природе легко создавать сложную многомасштабную структуру.

Другим важным свойством фракталов является их иерархичность, т.е. способность повторяться в разных масштабах пространства и времени. Однако, существует четкий критерий принадлежности объекта к фракталам - объект нельзя считать фрактальным, если он не обладает свойством самоподобия, но можно - если он не иерархичен.

2.3.1. Регулярные фракталы

Интуитивно можно констатировать, что свойства природных фрактальных объектов чрезвычайно разнообразны и сложны, в силу чего для их исследования используются модельные фракталы, сгенерированные по специальным алгоритмам. Такие искусственные фрактальные объекты носят название "регулярные фракталы".

Рис. 2.5. Этапы построения линейного регулярного фрактала - триадной кривой Кох

Количественной характеристикой фрактала является фрактальная размерность. Для выяснения смысла этого фрактального показателя решим несложную задачу. Требуется подсчитать длину ломаной линии, полученной преобразованием отрезка единичной длины (рис. 2.5.). Алгоритм преобразования следующий:

1. отрезок единичной длины (рис. 11а) делится на 3 части, средняя часть отрезка отбрасывается и заменяется ломаной, состоящей из 2 отрезков длины 1/3 (рис. 2.5.б);

2. каждый прямой отрезок полученной ломаной преобразуется согласно пункту 1, и мы получаем более изощренную ломаную линию, показанную на рис. 2.5.в;

3. пункты 1 и 2 повторяются до исчерпания технических возможностей чертежного приспособления (рис. 2.5.д). Если продолжить этот процесс до бесконечности, мы получим линию, называемую кривой Кох. Поскольку на каждом шаге мы разбивали каждый отрезок на три части, точнее она называется триадной кривой Кох. Ведь каждый отрезок можно разбивать и на большее количество частей.

На первом шаге алгоритма длина отрезка а составляет 1/3 от первоначальной. Тогда длина кривой Кох вычисляется просто

L= 4*1/3 = 4/3 = 1,33 (2.2)

На втором шаге алгоритма длина элементарного отрезка а=1/9, длина кривой

L= 16*1/9 = 16/9 = 1,777 (2.3)

На третьем шаге алгоритма а=1/27

L= 64*1/27 = 64/27 = 2,370370 (2.4)

и т.д. Можно заметить, что с увеличением n длина элементарного отрезка а ® 0, а длина кривой L стремится к бесконечности:

L= (4/3)ⁿ (2.5)

a= (1/3)ⁿ (2.6)

где n= 1,2,3. Выражая n из (2.6), получаем: n= (1/ln3)*ln(1/a). Подставляя n в (2.5), получим

L= exp(n*ln(4/3))=exp((ln(4/3)/ln3)*ln(1/a) (2.7)

Обозначив D= ln4/ln3, получаем

L=a*(1/a)D-1 (2.8)

Из последнего соотношения видно, что постоянным показателем остается только величина D, поскольку она не зависит от масштаба измерения и является характеристикой данной линии "кривая Кох". Она называется фрактальной размерностью. С геометрической точки зрения фрактальная размерность является показателем того, на сколько плотно эта линия заполняет плоскость или пространство. Аналогичным образом можно рассчитать фрактальную размерность других регулярных фракталов, например, плоского регулярного фрактала - салфетки Серпинского (рис. 2.6.).

Рис. 2.6. Этапы построения плоскогорегулярного фрактала - салфетки Серпинского

Кривую Кох можно растянуть в прямую линию, поэтому ее топологическая размерность равна единице. Фрактальная размерность кривой Кох D=ln4/ln3 » 1,263 больше топологической размерности. Таким образом кривая является структурой, отличной от линии, но еще не ставшей плоскостью.