Иерархия механики разрушения (стр. 4 из 6)
Похожий алгоритм используется для построения салфетки Серпинского (рис. 2.6.). Здесь из середины плоского треугольника вырезается треугольник с длиной стороны, равной половине длины стороны исходного треугольника. Фрактальная размерность этого построения лежит между 1 и 2.
 |
| Рис. 2.7. Фрактальный кластер,смоделированный нами на основании DLA-механизма |
2.3.2. Фрактальные кластеры
Для описания фрактальных структур, встречающихся на микромасштабах, широко используют понятие кластер (рис. 2.7). Это - скопление близко расположенных, тесно связанных друг с другом частиц любой природы (атомов, молекул, ионов и иногда ультрадисперсных частиц) общим количеством 2-100 частиц. В последнее время термин кластер распространяется и на системы, состоящие из большого числа связанных макроскопических частиц.
Введено также понятие фрактального кластера, под которым понимают структуру, образующуюся в результате ассоциации частиц при условии диффузионного характера их движения. Основной чертой фрактального кластера является то, что средняя плотность частиц в нем r (r) падает по мере удаления от образующего центра по закону
r (r)= const / ra , (2.9)
где r- расстояние от центра.
Связь между размером кластера и числом частиц N (или массой фрактала) можно представить в виде:
N ~ RD, (2.10)
где R - расстояние от центра кластера;
D = d - a - фрактальная размерность кластера;
d - размерность объемлющего пространства.
В другом виде это же соотношение можно представить следующим образом:
N =r (R/R0)D при N®¥ , (2.11)
где R0 - размер частицы или мономера (все частицы полагаются равными по размеру);
r - плотность массы - учитывает тип упаковки и форму кластера.
 |
| Рис. 2.8. Этапы процесса компьютерного моделирования фрактала при помощи ССА-процесса |
Размерность кластера D не зависит ни от его формы, ни от типа упаковки в нем частиц. Она лишь служит количественной характеристикой того, как кластер заполняет занимаемое им пространство [4]. Из соотношения (2.10) следует, что фрактальная система обладает свойством самоподобия. Оно формулируется следующим образом: если в окрестности точки, занятой кластером, выделить область относительно небольшого объема, то попадающие в него участки кластера будут подобны в физическом смысле. Таким образом, фрактальный кластер, построенный по случайному закону, имеет внутренний порядок, а свойство самоподобия следует понимать статистически[4].
Разработано множество модельных механизмов формирования фрактальных кластеров. Это во многом связано с развитием и все более широким внедрением вычислительной техники. Проведено огромное количество численных экспериментов [например, 5, 6, 7, 8], в которых выявлялись закономерности фрактальной природы реальных объектов на основе модельных механизмов. Среди моделей агрегации следует выделить модель агрегации, ограниченной диффузией (DLA или ОДА), модель ограниченной диффузией кластерной агрегации (DLCA) и модель кластер-кластерной агрегации (CCA).
Многие реальные физические процессы хорошо описываются DLA- моделью. Это прежде всего электролиз, кристаллизация жидкости на подложке, осаждение частиц при напылении твердых аэрозолей. В DLA- процессе на начальном этапе в центре области устанавливается затравочное зерно, затем из удаленного источника на границе области поочередно выпускаются частицы, которые совершают броуновское движение и в конечном итоге прилипают к неподвижному зерну. Таким образом происходит рост DLA- кластера.
При помощи ССА-процесса моделируются гелеобразование и формирование связанно-дисперсных систем (рис. 2.8). В этом процессе нет затравочного зерна. Все частицы совершают случайные блуждания и образуют кластеры, которые продолжают диффундировать, формируя кластеры больших размеров. В пределе система может превратиться в один гигантский кластер (рис. 2.8 в)[4].
 |
| Рис. 2.9. Дендритные кристаллы металла [9] |
Традиционные методы геометрии, широко используемые в естественных науках, в том числе в материаловедении и механике деформируемых тел, основаны на приближенной аппроксимации структуры исследуемого объекта геометрическими фигурами, например линиями, отрезками, плоскостями, многоугольниками, многогранниками, сферами. При этом внутренняя структура исследуемого объекта, как правило, игнорируется, а процессы образования структур и их взаимодействия между собой и с окружающей средой характеризуются интегральными термодинамическими параметрами.
Это приводит к утрате значительной части информации о свойствах и поведении исследуемых систем, которые, в сущности, заменяются более или менее адекватными моделями. В некоторых случаях такая замена вполне оправдана. В то же время, известны ситуации, когда использование топологически неэквивалентных моделей принципиально недопустимо.
В металлических материалах существуют ячеистые или зернистые микроструктуры. Они могут иметь фрактальный или нефрактальный характер [10]. В последнем случае границы зерен, вследствие своей большой изрезанности обладают дробной фрактальной размерностью DÎ[2; 3]. Такая структура характерна для высокодеформированных границ. Существует даже термин “зубчатые границы”. Для них характерно самоподобие в широкой области пространственных масштабов[11].
2.3.3. Перколяция
В последнее время идеи фрактальной геометрии находят все большее применение при количественной оценке параметров реальных кристаллов, которые зачастую имеют очень сильные отклонения от правильной формы евклидовых многогранников [12]. В частности. это относится к дендритам - своеобразным “пористым” кристаллам, обладающим свойством самоподобия (рис. 2.9). Удобной мерой, характеризующей отклонение степени заполнения дендритом пространства от таковой для идеального кристалла, является его фрактальная размерность.
Фрактальные идеи с успехом применяются для описания протекания жидкостей через пористые среды. Иначе процесс протекания называется перколяцией (от англ. percolation - просачивание). Перколяция имеет место в ряде важных процессов: при фильтрации, в геологии при просачивании нефти сквозь тот или иной слой породы и т.д. Во всех этих случаях необходимо выяснить, будет ли протекать жидкость сквозь пористую среду, а если будет, то с какой скоростью?
Для решения этих задач используется решеточная модель. Рассматривается решетка, состоящая из узлов и связей между ними. Каждому узлу задается число Xi,j в интервале [0; 1], которое характеризует вероятность того, что в данную ячейку может просочиться жидкость
Xi,jÎ [0; 1], i = 1..N; j = 1..M, (2.12)
где N и M - размеры решетки по горизонтали и вертикали.
Задается пороговое значение вероятности XП (например XП = 0,45), которое определяет нижнее значение вероятности, при котором жидкость все еще может протечь в ячейку. В данном случае все ячейки с присвоенной им вероятностью Xi,j > 0,45 принципиально лишены возможности пропускать сквозь себя жидкость. XП называется порогом перколяции и определяет степень пористости среды.
Ячейки с вероятностями меньшими пороговой способны заполняться и пропускать сквозь себя жидкость. Они называются порами. Компьютерное моделирование процесса протекания при заданном XП заключается в том, что в решетку с одной стороны начинают "впрыскивать жидкость". Впрыснутая жидкость из любой поры может вторгнуться только в пору, непосредственно находящуюся рядом с данной. Так моделируются капиллярные каналы, или "связи" между порами.
Жидкость просачивается в поровое пространство, образуя кластер протекания или перколяционный кластер. Меняя значение порога перколяции XП, получают перколяционные кластеры различных размеров. Условием успешного протекания жидкости является возникновение кластера, который простирался бы вдоль всей решетки и соединял бы ее противоположные стороны.
Можно представить два варианта перколяции. Идеальный вариант состоит в допущении, что поры среды, через которую осуществляется перколяция, заполнены вакуумом. Более реально рассматривать вариант, когда протекающая жидкость вытесняет какую-либо текучую среду, уже содержащуюся в пористом пространстве. Он может происходить при вытеснении несмешивающихся жидкостей, например в случае вытеснения воды маслом. На рис. 2.10 изображен перколяционный кластер, полученный в модели с вытеснением.
 |
| Рис. 2.10. Перколяционный кластер. Вытесняющая жидкость (черная) втекает через узлы на левой границе, а вытесняемая жидкость вытекает через правую границу |
Выяснено, что для квадратной решетки существует определенное критическое значение пористости XПкр = 0,59275, при котором впервые появляется кластер, простирающийся на всю длину решетки. Численное моделирование на очень больших решетках показало, что вероятность образования кластера, протекающего на всю длину решетки, стремится к нулю при размере решетки, стремящейся к бесконечности.