Иерархия механики разрушения (стр. 5 из 6)
При XП >XПкр и XП ® XПкр определяют вероятность протекания P¥ . Она определяется как вероятность того, что жидкость, впрыснутая в случайно выбранном узле решетки, оросит бесконечное множество пор:
P¥~ (XП - XПкр)b , (2.13)
где b = 5/36 = 0,1389... для двумерного и b = 0,4 для трехмерного протекания.
 а |
 б |
 в |
| Рис. 2.11 Фрактальное множество мандельброта: а-общий вид; б-увеличенный фрагмент; в-фрагмент с еще большим увеличением. |
Сложность моделирования заключается в том, что в реальной пористой среде существует большой разброс пор по размерам. Необходимо численно смоделировать процесс протекания, одновременно учитывая поры всех размеров. Для преодоления такого рода сложностей вводят два пространственных масштаба: минимальный a0 и максимальный, называемый длиной корреляции x . На масштабах больших x реальную пористую среду можно считать однородной и представлять в виде блоков с размерами x ´ x ´ x .
С другой стороны обнаружено, что при пористости среды XП » XПкрит на масштабах [a0 ; x ] все характеристики среды подобны. При этом реальную пористую среду можно считать самоподобной в промежутке от минимального a0 до максимального x масштабов. Свойство самоподобия позволяет рассматривать поведение пористого слоя на произвольном масштабе L [a0 ; x ].
2.4. Граница, предел роста и фрактальные множества
В различных физических процессах и математических задачах может иметь место ситуация конкуренции нескольких центров за доминирование на плоскости. В результате такого соперничества редко возникают простые границы между территориями. Чаще имеет место нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже за самые малые участки.беспорядку, от намагниченного состояния к не намагниченному в зависимости от интерпретации тех сущностей, которые примыкают к границе. Пограничные области в большей или меньшей мере замысловато зависят от условий, характеризующих изучаемый процесс.
Порой возникает третий конкурент, который пользуется разногласиями двух других и насаждает свою область влияния. Может случиться, что один центр захватит всю плоскость, но и его власть имеет “границы” в виде изолированных точек, которые неподвластны его притяжению. Это так сказать “диссиденты”, не желающие “принадлежать”.
Подобного рода границы могут быть описаны исключительно фрактальной геометрией. Инструментом для описания подобных объектов служат фрактальные множества. Наиболее известными среди них являются множества Мандельброта и Жюлиа, которые сами обладают свойством самоподобия. На рис. 2.11а показано множество Мандельброта. Светлым квадратом
 а) |  б) |
| Рис. 2.12 Фрактальное множество Жюлиа: а-общий вид; б-увеличеный фрагмент | |
Именно в этой пограничной области происходит переход от одной формы существования к другой: от порядка к выделена область, которая в увеличенном виде показана на рис. 2.11б. На рис. 2.11в изображена деталь границы с рис. 2.11б. Множество Жюлиа и одна из его деталей в увеличенном виде показаны на рис. 2.12.
2.5. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФРАКТАЛОВ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ РЕАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ
2.5.1. Моделирование регулярных фрактальных поверхностей
При изучении поверхностных явлений, например явления адсорбции, для воспроизведения реальных поверхностей необходимо искусственно задавать неоднородность. Выяснилось, что ее можно успешно формировать, используя методы фрактальной геометрии. Известно несколько способов, основанных на различных моделях регулярных фракталов.
Первый способ: поверхность обобщенной триады Кох. Вначале строится фрактальная кривая в масштабе h , а затем вся фрактальная кривая переносится параллельно самой себе на длину порядка L . В результате получается “гофрированная” поверхность, которая служит моделью неоднородной поверхности. Можно рассчитать длину фрактальной кривой (обобщенной кривой Кох), которая является профилем этой поверхности:
Lh= h(L/h)D (2.14)
Lh - зависимость длины кривой от масштаба h .
Здесь фрактальная размерность D определяется выражением:
D=(ln(k-p)+(p2+4m2)1/2)/ lnk (2.15)
где k - количество частей, на которые делится отрезок длины L
p - количество частей из набора k-частей, на которых производится операция дальнейшего преобразования
m - высота треугольника при построении кривой Кох.
Тогда площадь поверхности Sh определится выражением:
Sh=L(h)L=h(L /h)D(L /h )*h=h2(L /h)D+1 (2.16)
Отсюда следует, что фрактальная размерность увеличивается на единицу в том направлении, в котором поверхность однородна: DS=D+1 (рис. 2.13). Если вместо параллельного переноса образуется другая фрактальная кривая с другим значением масштаба и фрактальной размерности, то:
Sh=h1h2(L/h1)D1*(L/h2)D22=L(h1)*L(h 2) (2.17)
Второй способ: неоднородная поверхность, образованная ямками и впадинами губки Менгера. Этот способ напоминает образование “горных хребтов” на первоначальной плоской поверхности. Выделяют участок плоской поверхности в форме квадрата со стороной L . Делят получившуюся плоскость на k частей и выделяют на ней квадраты со стороной L/k. Выделяют в центре плоской поверхности площадку размером p2=(L/k)2(p- число квадратов со стороной L/k), строят куб высоты p*L /k. Подсчитывают площадь получившейся прямоугольной “горы” (рис. 2.14).
Ее площадь определяется как:
S1=(k2 - p2)*(L /k)2+ 5p2 (L /k)2 = (k2+ 4p2)( L /k)2 (2.18)
 |
| Рис. 2.13. Поверхность, образованная триадной кривой Кох (D = 2,262) |
Процедуру продолжают далее в каждом из квадратов со стороной L /k. В итоге, площадь получившейся поверхности определяется:
Sn=(k2+ 4p2)*(L /kn)2, h =L /kn. (2.19)
Переходя к масштабу h:
Sh=h 2(L/h)D, (2.20)
где D= [ln(k2 + 4p2)/ lnk] > 2, 1 £ p £ k- 2 (2.21)
Таким образом, для моделей фрактальных поверхностей, рассмотренных здесь, показатель D лежит в интервале (2; 3).
2.5.2. Моделирование неоднородных пористых поверхностей
Поскольку поверхности реальных объектов имеют случайный, иногда сильно изрезанный характер, их моделирование при помощи регулярных фракталов типа кривой Кох зачастую невозможно. Далее приведена модель образования фрактальных пористых систем, которые получили название губки Менгера (по фамилии ученого, впервые предложившего такой механизм моделирования фрактальных объектов).
 |
| Рис. 2.14. Поверхность, образованная ямками и впадинами губки Менгера |
Губка Менгера образуется следующим образом. Выбирается куб с длиной стороны, равной h = L . Затем сторона куба делится на три части и получается, что в объеме куб состоит из 3? 3? 3 = 27 меньших кубиков со стороной h 1=L /3. Из центральной части объема исходного куба удаляются 7 таких меньших кубиков (рис. 2.15а). В каждом из оставшихся 20 кубиков совершается процедура, аналогичная вышеописанной. Объем оставшейся части куба на каждом этапе построения можно определить по формулам:
1 этап V1=20(L /3)3, h1= L/3
. . .
n этап Vn=20n(L /3n)3, h n= L /3n (2.22)
Исключая n, получим следующий результат:
Vh =h3(L /h )D (2.23)
Здесь D = ln20/ln3 = 2,726833.
Еще более реалистичные модели пористых систем можно образовать из модели фрактала под названием обобщенной губки Менгера (рис. 2.15б). Этот фрактал получается следующим образом. Сторона ребра исходного куба размера L делится на К частей. Затем из центра куба изымается р кубиков со стороной ребра L /К. Подсчитывается доля оставшихся. Затем та же процедура изъятия р кубиков осуществляется уже для каждого оставшегося кубика размером L/К. Эта процедура продолжается n раз. На первом этапе доля оставшихся кубиков определяется следующим выражением: