Иерархия механики разрушения (стр. 6 из 6)

а)	б)
Рис. 2.15 Пористый объем смоделированный на основе: а-регулярной гибки Менгера; б-обобщенной статистической губки Менгера

12р* ((k - p)/2)²+8* ((k -p)/2)³ = k³- 3kp²+ 2p³. (2.24)

Число кубиков масштаба L /kⁿ равно (k³-3kp²+2p³)ⁿ. Объем обобщенной губки Менгера дается выражением:

V_h = (k³- 3kp²+2p³)ⁿ (2.25)

(L/kⁿ)³ = h³(L/h)^D (2.26)

Здесь:

D= [ln(k³-3kp²+2p³)]/lnk (2.27)

D - фрактальная размерность обобщенной губки Менгера (0 < р £ k-2).

Классической губке Менгера соответствует К=3, р=1. Исследование выражения для D показывает, что 2< D< 3, причем р=1 соответствует случаю малой доли пор с D близкой к трем. Другой предельный случай:

D= ln[4(3k - 4)]/ lnk (2.28)

соответствует случаю развитой пористости или большей доли пор. Под пористостью здесь понимается доля изъятых кубов из исходного куба объема L³. Cуммарная площадь порового пространства для обобщенной губки Менгера также фрактальна и характеризуется параметром Ds (фрактальной размерностью). Расчет площади производится с помощью выражения:

S_h = G_f[(L/h )^D-2-1]. (2.29)

Здесь G_f- геометрический форм-фактор:

G_f = [12p*(k - p)]/(N- k²) = [12p*(k - p)]/(k³- 3kp²+ 2p³- k²), (2.30)

D определяется формулой, описанной выше для фрактальной размерности обобщенной губки Менгера. Значит, между фрактальными размерностями D и Ds существует корреляция:

Ds= D-2 (2.31)

Следует отметить, что для произвольного объемного фрактала такой простой связи между Sh и Vh не существует. Здесь для каждого фрактала необходим свой предварительный анализ, определяемый геометрической формой фрактала.

Формула для площади порового пространства здесь может быть переписана в виде:

S_h = G_fh [(L/h )^D - (L/h )²] (2.32)

Можно полагать, что классификация фракталов по различным геометрическим свойствам в приложении к реальным объектам, в том числе и к поверхностям раздела конденсированных сред, уже практически сложилась. Сейчас существует целый ряд экспериментальных методов измерения и наблюдения фрактальных структур, результаты которых затем в каждом отдельном случае сопоставляются с различными математическими и компьютерными моделями. Аппарат фрактальной геометрии будет часто необходим нам в дальнейших главах для описания явлений формирования и разрушения конструкционных материалов.