Решить систему векторных уравнений можно, если число неизвестных составляющих (величин и направлений) векторов, входящих в систему, не превышает удвоенного количества уравнений. В данном случае система содержит четыре неизвестные составляющие: величину и направление вектора VA', величину вектора VA'A и величину вектора VA'B. Следовательно, система решается.
Для решения системы необходимо в масштабе, используя правило сложения векторов, построить эти уравнения из одной точки, в данном случае из полюса Р. Вектор Ра, изображающий скорость VA, на плане уже есть; вектор скорости VA'A необходимо с ним сложить, поэтому через конец вектора VA (через точку а на плане скоростей) проводим известное направление (линию, параллельную ВС). Это все, что пока можно получить из первого уравнения системы.
Из второго уравнения: скорость VB = 0, следовательно, этот вектор представляет из себя точку, совпадающую с полюсом Р. Вектор VA'B, направление которого известно, необходимо сложить с вектором VB, для чего через конец вектора VB, (т.е. полюс) проводим нужное направление (линию, перпендикулярную ВС) до пересечения с уже проведенной через точку а линией.
Точка их пересечения и дает искомое решение системы уравнений, т.е. определяет конец вектора скорости VA' , поэтому на плане скоростей эта точка получает обозначение а'.
Действительное значение скорости точки А' равно:
VA' = Pa' * μ v = 76мм * 0,015мс-1/мм = 1.14м/с
Отрезок аа на плане изображает скорость VA'A, ее действительное значение также может быть определено произведением длины отрезка аа на масштабный коэффициент μ v
VA'A = aa' * μv = 64мм * 0,015мс-1/мм = 0,96м/с
Скорость VA'A направлена от точки а к точке а' на плане скоростей (проверьте по правилу сложения векторов первое уравнение решенной системы).
Далее определим угловую скорость звеньев 2 и 3 (ω2=ω3), так как вращательное движение для них общее (относительное движение – поступательное)
ω 2 = ω3 = VA'B / LA'B = VA' / АВ * μL = 1.14мс-1 / (147мм * 0,0038м/мм) = 2с-1
Вектор скорости точки А' относительно точки В равен вектору абсолютной скорости точки А', т.е. VA'B = VA' . Расстояние от точки А' до точки В (LA'B) может быть определено с помощью плана положений.
Направление угловой скорости ω 3 определяется следующим образом: мысленно перенесем вектор скорости VA'B в соответствующую точку плана положений (точку А') и рассмотрим ее движение относительно точки В; ясно, что вращение звена 3 осуществляется по часовой стрелке, что и показано круговой стрелкой на плане положений механизма в положении 1.
Затем в соответствии с предложенной выше последовательностью следует определить скорость точки С, к которой присоединена следующая группа Ассура. Воспользуемся принципом подобия: так как точки В, А', С, принадлежащие одному жесткому звену, расположены на плане положений на одной прямой, то и точки b, (она же полюс Р) а', с тоже должны располагаться на одной прямой на плане скоростей. Из подобия фигур имеем
Pa' / BA' = Pc / BC
Следовательно
Pδ = (BC * Pa') / BA' = (171мм * 76мм) / 72мм = 88мм.
Построим этот вектор на плане скоростей и определим
VC = PC * μV = 1.29м/с
Теперь можно переходить к рассмотрению второй и последней в данном механизме группы Ассура, состоящей из звеньев 4 и 5 т.е. из шатуна BC и ползуна C.
Необходимо определить скорость точки C, принадлежащей вращательной кинематической паре, т.е. одновременно звену BC и звену C. Так как звено 5 совершает поступательное движение, а значит, скорости всех точек этого звена равны и направлены в одну сторону – вдоль направляющей, то известно направление скорости точки C. Скорость точки B определена выше по правилу подобия. Составим векторное уравнение, связывающее скорость точек B и C:
→ → → →
VC = VB + VCB (VCB ┴ CB), VC || направляющей,
где VDC – вектор скорости в относительном вращательном движении точки C относительно точки B, следовательно, направление этого вектора перпендикулярно положению звена BC на плане положений.
Так как полученное уравнение содержит всего две неизвестные составляющие – величины векторов VC и VCB , то оно может быть решено. Для этого через точку b на плане скоростей проведем линию, перпендикулярную положению звена CD на плане положений, а через полюс – линию, параллельную направляющей (вертикальную линию). Точка их пересечения есть точка c – конец вектора Pc, изображающего на плане скорость точки C. Тогда
VB = PB * μV = 0,35м/с
Отрезок dc на плане скоростей изображает скорость VDC , которая направлена на плане в сторону точки d. Угловая скорость звена CD (ω4) может быть определена
ω 4 = VBC / LCB = (cb * μ V) / LCB = 6.6с-1.
Для определения направления угловой скорости звена BC следует мысленно поместить вектор относительной скорости VCB в соответствующую точку плана положений, т.е. в точку C. Очевидно, что под действием этого вектора звено вращается по часовой стрелке.
Таким образом, строятся планы скоростей для всех положений механизма, приведенных на плане положений. Все планы можно строить из одного приведенного на плане положений. Все планы можно строить из одного полюса. Результаты расчетов сводят в таблицу, при этом в пояснительной записке не следует повторять формулы и расчеты для всех положений механизма.
Значения скоростей точек и угловых скоростей звеньев механизма.
| ПоложениемеханизмаКинематич.параметры | 0(6) | 1 | 2 | 3 | k | 4 | 5 |
| VA | 0 | 9,8 | |||||
| VA' | 0 | 1.14 | 1.6 | 0.9 | 0 | 0.6 | 1.4 |
| VB | 0 | 1.32 | 1.59 | 1.08 | 0 | 0.98 | 3.08 |
| VC | 0 | 1.29 | 1.60 | 1.05 | 0 | 0.95 | 3.60 |
| ω3 | 0 | 2.0 | 2.6 | 1.8 | 0 | 1.5 | 3.68 |
| ω4 | 0 | 6.60 | 0.16 | 0.42 | 0 | 0.44 | 0.37 |
| VS3 | 0 | 0.65 | 0.80 | 0.53 | 0 | 0.48 | 1.80 |
| VS4 | 0 | 1.30 | 1.59 | 1.05 | 0 | 0.29 | 3.75 |
Определение ускорений точек и угловых ускорений звеньев
Решение этой задачи также проводится графоаналитическим методом, т.е. построением плана ускорений. В соответствии с заданием план ускорений строится только для одного положения – того, для которого будет проводиться силовой анализ (на рабочем ходу для наиболее нагруженного положения механизма).
Построение плана ускорений проводится в той же последовательности, что и плана скоростей. Свойства плана ускорений аналогичны свойствам плана скоростей, поэтому отдельно не описываются.
Построение плана ускорений проводим для первого положения механизма, так как это наиболее нагруженное положение (сила полезного сопротивления максимальна).
Ускорение точки А, совершающей вращательное движение вокруг точки О, складывается из двух составляющих:
→ → →
аА = аАn + aAτ
где аАn - вектор нормальной составляющей ускорения точки А, направленный к центру вращения и равный по модулю
аАn = ω12 * LOA = 9.82 с-2 * 0,15м = 14.4м/с-2
аАτ – вектор тангенциальной составляющей ускорения точки А, направленный перпендикулярно вектору нормальной составляющей и равный по модулю
аτА = ε1 * LOA = 0
поскольку в данном случае угловая скорость кривошипа задана постоянной, а значит угловое ускорение кривошипа ε1 = 0.
Следовательно, ускорение точки А конца кривошипа будет равно нормальной состаляющей аАn, и мы можем построить этот вектор. Для этого выберем полюс плана ускорений, обозначим его буквой π, построим вектор, параллельный соответствующему положению кривошипа длиной, например, 75мм. Определим масштабный коэффициент