μ а = аnA / πa = 14.4мс-2 / 100мм = 0,14м*с-2 / мм
Соблюдая последовательность, принятую при построении плана скоростей, определяем ускорение точки А', для чего составляем и решаем систему векторных уравнений.
На основании теоремы сложения ускорений (вектор абсолютного ускорения точки равен сумме векторов ускорений в переносном движении, относительном и ускорения Кориолиса) можем записать:
→ → → →
аА' = аА + аА'Аk + aA'Ao (1)
→ → → →
aA' = aB + aA'Bn + aA'Bτ (2)
где аА – вектор ускорения точки А кривошипа и кулисного камня (величина и направление его известны);
аА'Ао – вектор относительного ускорения точки А' кулисы относительно точки А (у него известно только направление – вдоль кулисы ОВ);
аА'Аk – вектор ускорения Кориолиса, по модулю равный
аА'Аk = 2ω3 * VA'A = 2 * 2,3c-1 * 0,96м*с-1 = 4,14м/с2
Кориолисово ускорение возникает в том случае, когда вектор относительной скорости поворачивается (т.е. переносное движение – вращательное), поэтому его еще называют поворотным ускорением. Направление его определяется поворотом вектора относительной скорости VA'A на 90о в направлении переносной угловой скорости ω3.
аВ – вектор ускорения точки В (переносное ускорение, равное нулю, так как точка В принадлежит еще и стойке);
аА'Вn – нормальная составляющая вектора относительного ускорения точки А' относительно точки В, равная по модулю
аА'Вn = ω32 * LA'B =0,16м/с-2
направленная к центру вращения, т.е. от точки А' к точке О1;
аА'Вτ– тангенциальная составляющая вектора относительного ускорения точки А' относительно точки В, для которого известно только направление, перпендикулярное нормальной составляющей (или кулисе ВС).
Отметим, что в уравнении (2) Кориолисова ускорения нет, так как в этом случае переносное вращательное движение отсутствует.
Поскольку полученная система двух уравнений содержит четыре неизвестные составляющие векторов, то она может быть решена.
Решаем графически систему уравнений:
- из точки а плана ускорений проводим в соответствующем направлении вектор ak, изображающий ускорение Кориолиса, в принятом масштабе
ak = aA'Ak / μa = 29,6мм;
- через точку k проводим направление вектора аА'Ао;
- из полюса π проводим в соответствующем направлении вектора πn1, изображающий нормальную составляющую аА'Вn в принятом масштабе
πn1 = aA'Bn / μa = 0,16м*с-2 / 0,012м*с-2 = 13мм.
Этот вектор проводим из полюса потому, что ускорение точки В равно нулю, и следовательно, точка b совпадает с полюсом;
- через точку n1 проводим направление вектора аА'Вτ до пересечения с направлением вектора аА'Ао, проведенный ранее через точку k. Точка пересечения и будет точкой а', соединив которую с полюсом, получим величину и направление ускорения точки А'.
Модуль ускорения точки А' будет равен
аА' = πа' * μа = 29мм * 0,012м*с-2/мм = 0,34м*с-2,
а направление соответствует направлению вектора πа' на плане ускорений.
Угловое ускорение третьего звена ε3 и равное ему ε2 можно определить с помощью найденной в результате решения уравнений тангенциальной составляющей ускорения вращательного движения:
ε3 = aA'Bτ/LA'B=(n1a'*μa)/(A'B*μL)=(25мм*0,012мс-2/мм)/(72мм*0,005м/мм) = 0,83с-2,
ибо вектор n1a' на плане ускорений изображает тангенциальную составляющую аА'Вτ
Направление углового ускорения определим, перенеся мысленно вектор n1a' с плана ускорений в точку А' плана положений. Она не обозначена на плане, но мы помним, что она совпадает в данном случае с точкой А. Направление углового ускорения на плане положений показано круговой стрелкой.
Ускорение точки С найдем по принципу подобия в плане ускорений
πа' / πс = ВА' / ВС, отсюда πс = (ВС*πа') / ВА' = (100мм*29мм) / 72мм = 40мм
Построим этот вектор на плане ускорений как продолжение вектора πа' и найдем величину ускорения точки С:
аС = πс * μа = 40мм * 0,012м*с-2/мм = 0,48м*с-2
Определим далее ускорение точки D, для чего составим уравнение
→ → → →
aD = aC + aDCn + aDCτ
где аС – в данном случае переносное ускорение, у которого известны величина и направление;
аDCn – вектор нормальной составляющей относительного (вращательного) ускорения точки D относительно точки С, по модулю равный
aDC n = ω42 * LDC = 0,412с-2 * 0,2м = 0,034м/с-2
и направленный вдоль звена DC к точке С;
аDCτ – вектор тангенциальной составляющей того же ускорения, у которого известно только направление – перпендикулярно звену DC.
Кроме того, нам известно направление ускорения точки D (звено 5 движется поступательно), следовательно, уравнение содержит две неизвестные составляющие входящих в него векторов, и его можно решить графически на плане ускорений следующим образом:
- из точки b в соответствующем направлении проведем вектор сn2, изображающий составляющую аDCn, в масштабе
cn2 = aCBn / μa = 0,034м*с-2 / 0,012м*с-2/мм = 3мм;
через точку n2 проведем направление вектора аDCτ (линию, перпендикулярную DC) до пересечения с направлением ускорения аD, т.е. с вертикальной линией, проведенной через полюс. Точка пересечения и есть точка d плана ускорений, следовательно,
аD = πd * μa = 25мм * 0,012м*с-2/мм = 0,3м*с-2.
Угловое ускорение звена DC определяется
ε4 = aDCτ/LDC=n2d*μa/DC*μL=(17мм*0,012мс-2/мм)/(40мм*0,005м/мм)=4,5с-2
Направление углового ускорения звена DC определим с помощью вектора n2d, изображающего тангенциальное ускорение аDCτ. Мысленно перенося этот вектор в точку D плана положений, покажем направление углового ускорения круговой стрелкой.
Силовой анализ механизма
Целью силового анализа является определение реакций в кинематических парах, т.е. тех сил, которые передаются в кинематической цепи от одного звена к другому. При решении этой задачи методом кинетостатики (или методом Н.Г. Бруевича) появляется возможность определить и уравновешивающую силу – силу, которую должен сообщить двигатель для нормального функционирования механизма технологической машины, или ту силу полезного сопротивления, которую может преодолеть двигатель.
Метод кинетостатики основан на применении принципа Даламбера, который формулируется следующим образом: если в любой момент времени к каждой из точек системы, кроме действующих на нее внешних сил приложить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применять все уравнения статики. Это позволяет вести расчет неравномерно движущихся звеньев по уравнениям статики.
В общем случае, когда звено совершает плоское движение, силы инерции приводятся к главному вектору сил инерции FИ , приложенному к центру масс звена и главному моменту пар сил инерции МИ, определяемый по соотношениям:
→
FИ = -m * aS
→
MИ = -JS * ε
где m – масса звена, кг;
aS – ускорение центра масс звена, м/с2
JS – осевой момент инерции звена относительно центра масс, кг*м2
ε – угловое ускорение звена, с2
Отметим, что реакция в кинематической паре 5-го класса всегда содержит две неизвестные составляющие (в поступательной – точку приложения и величину силы, во вращательной – величину и направление силы), и механизм без избыточных связей является статически определимым. Для упрощения расчетов значительно удобнее разложить его на группы Ассура, которые также являются статически определимым (доказательства этого утверждения см. в (3) или (4)).