(2) ∑ σA 0k= - F пр σS , ∑- σA 0k= ( - c (R 2 + r2 ) 2 / 4R22 * S – μS + F(t)) *σS;
Найдем возможную работу сил инерции:
∑ σA 0k= -φ1 σS1 – φσS2 - M2σφ2 – M3 σφ3 – φ4σS4 - M4 φ4σ ;
Запишем выражение для главных векторов и главных моментов сил инерции
φ1= m1 a =m1 S; φ4= m4 a 4 = m4 S4; M 4 = J c4 *E 4 = J c4 * φ4;
φ2= m2 a 2 = m2 S 2; M 2 = J c2 *E 2 = J c2 * φ2 ;
φ3=0 ; M 3= Jc3 *E 3 = Jc3 * φ3 ;
Используя кинематические уравнения (1.7) можно записать
σS2 = σ S; σ φ2 = 1/R 2 σ S ; σ φ3 = R 2 + r 2 / R 2 r 3 * σS;
σ φ4 = R 2 + r 2 / R 2 r 3 * σS; σS4 = R 2 + r 2 / 2R 2* σS;
S4 = R 2 + r 2 / 2R 2* S
S2 =S ; φ2 = 1/R2 *S; φ3 = R 2 + r 2 / R 2 r 3 * S;
φ3 = R 2 + r 2 / 2R 2 r 3 *S;
Теперь возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду :
∑ σA 0k= -( m1 +m2 + Jc21/R 22 + (R 2 + r 2 )2/ R 22r 3 2 + m4 ( R2+ r 2 )2/ 4R 22
+ J c4(R 2 + r 2 )2/ 4R 22 r 3 2 )* Sσ S;
(3)∑ σA 0k = - mпр* Sσ S;
далее подставляя выражение (2) и (3) в (1) т.е в общее уравнение динамики получаем
Поделив это уравнение на σS = 0 получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:
S + 2nS + k2 S = F0 /mпрsin (pt) , где k = R2 +r2 /2R2 c/mпр= 19 , 3 c -1
n = μ / 2 mпр = 6.1 c -1
Полученное нами дифференциальное уравнение полностью совпадает с полученными ранее уравнением
3.2. Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода
Составим теперь уравнение Лагранжа 2-ого рода. В качестве обобщенной координаты примем перемещение груза 1 - S. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:
d/dt * σ T/ σS - σ T/ σ S (3.3)
где Т — кинетическая энергия системы; Q - обобщенная сила; S - обобщенная координата; S - обобщенная скорость. Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее:
(3.4) T=1/2m трv3 2
т пр =m +m2 +m3 1/R22 + 1/2m3(R2 - r 2 ) 2 / R2 + m4 (R2 + r 2 ) 2 /4r22 + m4 (R2 + r 2 ) 2 /4r22
Производные от кинетической энергии:
(3.5) σT/ σS= 0; σT/ σS = т прS ; d/dt * σT/ σS= т прS;
Для определения обобщенной силы Q сообщим системе возможное перемещение σS (рис.3) и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможных перемещениях точек их приложения [см.(2)].
(3.6) ∑ σA 0k= - F пр σS , ∑- σA 0k= ( - c (R 2 + r2 ) 2 / 4R22 * S – μS + F(t)) *σS;
С другой стороны для системы с одной степенью свободы:
∑ σA 0k=QσS( 3.7)
Сравнивая два последних соотношения, получаем:
Q = - c (R2 + r 2 ) 2 /4R22 *S – μ*S + F(t).
Подставляя производные (3.5) и обобщенную силу (3.8) в уравнение Лагранжа(3.3), получаем;
Q = - c (R2 + r 2 ) 2 /4R22 *S – μ*S + F0m(pt) ,
S + 2nS + k2 S = F0 /mпрsin (pt) , где k = R2 +r2 /2R2 c/mпр= 19 , 3 c -1
n = μ / 2 mпр = 6.1 c -1
Анализ результатов
В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теоретической механики. Дифференциальное уравнение движения механической системы получено тремя способами. Во всех случаях коэффициенты тнр,п,к получились одинаковыми и совпали с компьютерной распечаткой, что говорит об их правильности. В процессе решения дифференциального уравнения данной механической системы были получены законы движения первого груза, его скорость и ускорение в зависимости от времени t На основании этих зависимостей были определены законы изменения всех остальных характеристик механической системы, в том числе и реакции связей.
Использованная литература
1. Методические указания к курсовой работе по разделу "Динамика", "Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы". Разработали: профессор Нечаев Л.М., доцент Усманов М.А. Тула 1998.
2. Яблонский А.А. "Курс теоретической механики." Том 2 - М.: Высшая школа
1984-424 с.
3. Тарг СМ. "Краткий курс теоретической механики" — М.: Наука, 1988 — 482 с.22