Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.2 (стр. 1 из 2)
Задача 2. Составить уравнение нормали (в вариантах 2.1 – 2.12) или уравнение касательной (в вариантах 2.13 – 2.31) к данной кривой в точке с абсциссой
.2.1.
Уравнение нормали:
.y0= (4*2-22)/4=1
y'= 1-2x/4
y0'= 1-4/4=0
Уравнение нормали имеет вид:
х=х0
х=2
2.2.
Уравнение нормали:
.y0= 2*4-2*3-1=1
y'= 4х+3
y0'= -4*2+3=-5
Уравнение нормали имеет вид:
у-1=1/5(х+2)
у=1/5х+7/5
2.3.
Уравнение нормали:
.y0= -1-(-1)3=0
y'=1-3х2
y0'= 1-3*(-1)2=-2
Уравнение нормали имеет вид:
у=1/2(х+1)
у=1/2х+1/2
2.4.
Уравнение нормали:
.y0= 42+8√4-32=0
y'= 2х+4/√х
y0'= 2*4+4/√4=10
Уравнение нормали имеет вид:
у=-1/10(х-4)
у=-1/10+2/5
2.5.
Уравнение нормали:
.y0= 1+√13=2
y'= 1+3х2/2√х3
y0'= 1+3/2=5/2
Уравнение нормали имеет вид:
у-2=-2/5(х-1)
у=-2/5х+12/5
2.6.
Уравнение нормали:
.y0= 3√64-20=4-20=-16
y'= 2/(33√х)
y0'= 2/33√(-8)=-1/3
Уравнение нормали имеет вид:
у+16=3(х+8)
у=3х+8
2.7.
Уравнение нормали:
.y0= (1+√4)/(1-√4)=-3
y'= ((1/(2√х))*(1-√х)+(1+√х)*1/(2√х))/(1-√х)2=1/(√(х)*(1-√х)2)
y0'= 1/(√4*(1-√4))=-1/2
Уравнение нормали имеет вид:
у+3=2(х-4)
у=2х-11
2.8.
Уравнение нормали:
.y0= 84√16-70=-54
y'= 8/(44√х3)=2/4√х3
y0'= 2/4√163=1/4
Уравнение нормали имеет вид:
у+54=-4(х-16)
у=-4х+10
2.9.
Уравнение нормали:
.y0= 2-3+1=0
y'= 4х-3
y0'= 4-3=1
Уравнение нормали имеет вид:
у=-х+1
2.10.
Уравнение нормали:
.y0= (32-3*3+6)/32=2/3
y'= ((2х-3)х2-(х2-3х+6)2х)/х4=(2х3-3х2-2х3+6х2-12х)/х4=(3х-12)/х3
y0'= (3*3-12)/33=-1/9
Уравнение нормали имеет вид:
у-2/3=9(х-3)
у=9х-79/3
2.11.
Уравнение нормали:
.y0= √64-33√64=-4
y'= 1/(2√х)-1/(33√х2)
y0'= 1/2√64-1/33√642=1/16-1/48=1/24
Уравнение нормали имеет вид:
у+4=-24(х-64)
у=-24х+1532
2.12.
Уравнение нормали:
.y0= (23+2)/(23-2)=5/3
y'= (3х2(х3-2)-3х2(х3+2))/(х3-2)2=(3х2(-4))/(х3-2)2=(-12х2)/(х3-2)2
y0'= (-12*22)/(23-2)2=-48/36=-4/3
Уравнение нормали имеет вид:
у-5/3=3/4*(х-2)
у=3/4*х+1/6
2.13.
Уравнение касательной:
.y0= 2+3=5
y'= 4х
y0'= -4
Уравнение касательной имеет вид:
у-5=-4(х+1)
2.14.
Уравнение касательной:
.y0= (1+6)/(1+1)=7/2
y'= (29х28(х4+1)-4х3(х29+6))/(х4+1)2=(29х32+29х28-4х32-24х3)/(х4+1)2=(25х32+29х28-24х3)/(х4+1)2
y0'= (25+29-24)/4=15/2
Уравнение касательной имеет вид:
у-7/2=15/2*(х-1)
у=7,5х-4
2.15.
Уравнение касательной:
.y0= 2+1=3
y'= 2-1/х2
y0'= 2-1=1
Уравнение касательной имеет вид:
у-3=х-1
у=х+2
2.16.
Уравнение касательной:
.y0= -2(1+2)/(3(1+1))=-1
y'= -2/3*(8х7(х4+1)-4х3(х8+2))/(х4+1)2=-2/3*(4х11+8х7-8х3)/(х4+1)2
y0'= -2/3*(4+8-8)/(1+1)2=-2/3
Уравнение касательной имеет вид:
у+1=-2/3*(х-1)
у=-2/3*х-1/3
2.17.
Уравнение касательной:
.y0= (1+1)/(1+1)=1
y'= (5х4(х4+1)-4х3(х5+1))/(х4+1)2=(х8+5х4-4х3)/(х4+1)2
y0'= (1+5-4)/(1+1)2=1/2
Уравнение касательной имеет вид:
у-1=1/2*(х-1)
у=1/2*х+1/2
2.18.
Уравнение касательной:
.y0=(1+9)/(1-5)=-5/2
y'= (16х15(1-5х2)+10х(х16+9))/(1-5х2)2=(16х15-70х17+90х)/(1-5х2)2
y0'= (16-70+90)/(1-5)2=9/4
Уравнение касательной имеет вид:
у+5/2=9/4*(х-1)
у=9/4*х-19/4
2.19.
Уравнение касательной:
.y0=3(1-2)=-3
y'= 1/(3√х2)-3/√х
y0'= 1-3=-2
Уравнение касательной имеет вид:
у+3=-2(х-1)
у=-2х-1
2.20.
Уравнение касательной:
.y0= 1/(3*2+2)=1/8
y'= -3/(3х+2)2
y0'= -3/(3*2+2)2= -3/64
Уравнение касательной имеет вид:
у-1/8= -3/64*(х-2)
у= -3/64*х+7/32
2.21.
Уравнение касательной:
.y0= -2/(4+1)= -2/5
y'= (х2+1-2х2)/(х2+1)2= (1-х2)/(х2+1)2
y0'= (1-4)/(4+1)2= -3/25
Уравнение касательной имеет вид:
у+2/5= -3/25*(х+2)
у= -3/25*х-16/25
2.22.
Уравнение касательной:
.y0= 1/3*(9-9+3)=1
y'= 2/3*х-1
y0'= 2-1=1
Уравнение касательной имеет вид:
у-1= х-3
у= х-2
2.23.
Уравнение касательной:
.y0= 2/(1+1)=1
y'= (2х2+2-4х2)/(х2+1)2=(2-2х2)/(х2+1)2
y0'= (2-2)/(1+1)2= 0
Уравнение касательной имеет вид:
у= -1
2.24.
Уравнение касательной:
.y0= -2(1+3)= -8
y'= -2/(33√х2)-3/(√х)
y0'= -2/3-3= -11/3
Уравнение касательной имеет вид:
у+8= -11/3*(х-1)
у= -11/3*х-13/3
2.25.
Уравнение касательной:
.y0= (1+3)/(3+1)= 1
y'= (6х(3+х2)-2х(1+3х2))/(3+х2)2= 16х/(3+х2)2
y0'= 16/(3+1)2= 1
Уравнение касательной имеет вид:
у-1= х-1
у=х
2.26.
Уравнение касательной:
.y0= 14-15+2=1
y'= 7/√х-5/3√х2
y0'= 7-5= 2
Уравнение касательной имеет вид:
у-1= 2(х-1)
у= 2х-1
2.27.
Уравнение касательной:
.y0= 3-1= 2
y'= 3/(44√х3)-1/(2√х)