РЕПРЕЗЕНТАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ
Репрезентативная теория измерений (РТИ) согласно принятой в обзоре [1] классификации научных направлений является одной из составных частей статистики объектов нечисловой природы. Основные понятия этой теории и некоторые ее применения рассматривались в обзорах [1,2], в которых приведено также большое количество ссылок на публикации по этой тематике. Нас РТИ интересует прежде всего в связи с развитием теории и практики экспертного оценивания, в частности, в связи с агрегированием мнений экспертов, построением обобщенных показателей и рейтингов, поэтому в обзоре [3] и указанной там литературе проблемам РТИ уделяется большое внимание.
Мнения экспертов часто выражены в порядковой шкале, т.е. эксперт может сказать (и обосновать), что один показатель качества продукции более важен, чем другой, первый технологический объект более опасен, чем второй, и т.д., но не в состоянии сказать, во сколько раз или на сколько более важен, соответственно, более опасен. Экспертов часто просят дать ранжировку объектов экспертизы, т.е. расположить их в порядке возрастания (или убывания) интенсивности интересующей организаторов экспертизы характеристики. Формально ранги выражаются числами 1, 2, 3, ..., но с этими числами нельзя делать привычные арифметические операции. Например, хотя 1 + 2 = 3, но нельзя утверждать, что для объекта, стоящем на третьем месте в упорядочении, интенсивность изучаемой характеристики равна сумме интенсивностей объектов с рангами 1 и 2. Так, один из видов экспертного оценивания - отметки учащихся, и вряд ли кто-либо будет утверждать, что знания отличника равны сум ме знаний двоечника и троечника (хотя 5 = 2 + 3), хорошист соответствует двум двоечникам (2+2 = 4), а между отличником и троечником такая же разница, как между хорошистом и двоечником (5 - 3 = 4 - 2). Поэтому очевидно, что для анализа подобного рода качественных данных необходима теория, дающая базу для разработки, изучения и применения конкретных методов расчета. Это и есть РТИ.
В настоящее время термин "теория измерений" применяется для обозначения классической метрологии, РТИ (книга И.Пфанцагля [4] неосторожно названа "Теория измерений"), некоторых других направлений, например, алгоритмической теории измерений [5]. Иногда это многообразие смыслов одного и того же термина "теория измерений" вызывает ненужные споры. Поэтому весьма уместна опубликованная в настоящем номере "Заводской лаборатории" статья Ю.Н. Толстовой [6], посвященная истории РТИ (в [6], в частности, разъяснен термин "репрезентативная"). Однако она написана доктором социологических наук, и целесообразно увязать ее содержание с привычными для читателей "Заводской лаборатории" задачами, показать пользу РТИ, а также раскрыть наш взгляд на историю и содержание РТИ, несколько отличающийся от представленного в статье [6].
О развитии РТИ в СССР
Сначала эта теория развивалась как теория психофизических измерений. Основоположник РТИ С.С.Стивенс основное внимание уделял шкалам измерения [7]. Характерно, что следующий сборник назывался "Психологические измерения", т.е. расширял сферу применения РТИ, а в основной статье [8] в этом сборнике под названием, обратите внимание, "Основы теории измерений", упор сделан на гомоморфизмах эмпирических систем с отношениями в числовые, в связи с чем математическая сложность изложения возросла.
В одной из первых отечественных работ по РТИ [9] было установлено, что баллы, присваиваемые экспертами при оценке, как правило, измерены в порядковой шкале. Отечественные работы, появившиеся в начале 70-х годов, привели к расширению области применения РТИ: Г.А.Сатаров [10] применял теорию измерений к педагогической квалиметрии, В.Б.Кузьмин и С.В.Овчинников [11] - в системных исследованиях, мы [12] - в теории экспертных оценок и для агрегирования показателей качества, Ю.Н.Толстова [13,14] - в социологических исследованиях, и др.
Перевод книги И.Пфанцагля [4] символизирует окончательное оформление научного направления, отказ от ограничений на области применения. Одновременно нельзя не обратить внимание на крайнюю математизированность этой книги, сочетающуюся со сравнительно слабым вниманием к вопросам применения РТИ. Наблюдаем типичную картину развития математической дисциплины, которую мы обсуждали в [15] применительно к математической статистике: для решения прикладных задач создается математизированная теория, которая затем развивается как часть математики, при этом вопросы приложений игнорируются. Примеры подобного развития приведены и в заключительной части статьи Ю.Н.Толстовой [6]. Отметим также, что в [6] указаны и связи РТИ с иными разделами статистики объектов нечисловой природы, в частности, с многомерным шкалированием.
Мы сочли необходимым попытаться переломить эту тенденцию, уводящую РТИ от интересов практики. Для этого мы сочли полезным вернуться к первоначальной трактовки РТИ С.С.Стивенсом как науки о шкалах измерения, а в качестве двух основных задач наряду с установлением типа шкалы выдвинуть поиск алгоритмов анализа данных, результат работы которых не меняется при любом допустимом преобразовании шкалы (т.е. является инвариантным относительно этого преобразования). Такой принципиальный поворот был выражен в названии статьи "Прикладная теория измерений" [16], в котором термин "прикладная" означал принципиальный отказ от ориентации на внутриматематические исследования (сравните термины "прикладная статистика" и "математическая статистика"). Затем рассматриваемый подход к РТИ был отражен в ряде монографий [17-20].
В 80-90-е годы основные идеи РТИ нашли отражение на страницах справочных [21] и научно-популярных изданий [22,23], стали включаться в учебные курсы. Однако барьер непонимания между специалистами по РТИ и классическими метрологами все еще остается. На снижение этого барьера и нацелены статья Ю.Н.Толстовой [6] и настоящая статья.
Основные шкалы измерения
В соответствии с РТИ при математическом моделировании реального явления или процесса следует прежде всего установить, в каких типах шкал измерены те или иные переменные. Тип шкалы задает группу допустимых преобразований. Укажем основные виды шкал измерения и соответствующие группы допустимых преобразований. В шкале наименований (номинальной) допустимыми являются все взаимно-однозначные преобразования (т.е. числа используются лишь как метки, например, номера телефонов), в порядковой - все строго возрастающие преобразования, в шкале интервалов - линейные возрастающие преобразования, в шкале отношений - подобные (изменяющие только масштаб) преобразования, а для абсолютной шкалы допустимым является только тождественное преобразование.
Установление типа шкалы, т.е. задания группы допустимых преобразований шкалы измерения - дело специалиста соответствующей прикладной области. Так, оценки привлекательности профессий мы считали измеренными в порядковой шкале [17]. Однако отдельные социологи не соглашались с этим, считая, что выпускники школ пользуются шкалой с более узкой группой допустимых преобразований, например, интервальной шкалой. Очевидно, эта проблема относится не к математике, а к наукам о человеке. Для ее решения может быть поставлен эксперимент (достаточно трудоемкий), описанный в работе [24]. Пока же он не поставлен, целесообразно принимать порядковую шкалу, так как это гарантирует от возможных ошибок.
Оценки экспертов, как уже отмечалось, часто следует считать измеренными в порядковой шкале. Типичным примером являются задачи ранжирования и классификации промышленных объектов, подлежащих экологическому страхованию [25]. Почему мнения экспертов естественно выражать именно в порядковой шкале? "Как показали многочисленные опыты, человек более правильно ( и с меньшими затруднениями) отвечает на вопросы качественного например, сравнительного, характера, чем количественного. Так, ему легче сказать, какая из двух гирь тяжелее, чем указать их примерный вес в граммах" [19, с.3]. "Другими известными примерами порядковых шкал являются: в медицине - шкала стадий гипертонической болезни по Мясникову, шкала степеней сердечной недостаточности по Стражеско-Василенко-Лангу, шкала степени выраженности коронарной недостаточности по Фогельсону; в минералогии - шкала Мооса (тальк - 1, гипс - 2, кальций - 3, флюорит - 4, апатит - 5, ортоклаз - 6, кварц - 7, топаз - 8, корунд - 9, алмаз - 10), по которому минералы классифицируются согласно критерию твердости; в географии - бофортова шкала ветров ("штиль", "слабый ветер", "умеренный ветер" и т.д.” [21, с. 329]. При оценке качества продукции и услуг, в квалиметрии популярны порядковые шкалы [26]. Порядковая шкала используется и в иных областях (см., например, [27,28]).
Порядковая шкала и шкала наименований - шкалы качественных признаков. Поэтому результаты качественного анализа во многих областях можно рассматривать как измеренные по этим шкалам.
Шкалы качественных признаков - это шкалы интервалов, отношений, разностей, абсолютная. По шкале интервалов измеряют величину потенциальной энергии или координату точки на прямой, на которой не отмечены ни начало, ни единица измерения; по шкале отношений - большинство физических единиц: массу тела, длину, заряд, а также цены в экономике. Время измеряется по шкале разностей, если год принимаем естественной единицей измерения, и по шкале интервалов в общем случае. В процессе развития соответствующей области знания тип шкалы может меняться. Так, сначала температура измерялась по порядковой шкале (холоднее - теплее), затем - по интервальной (шкалы Цельсия, Фаренгейта, Реомюра) и, наконец, после открытия абсолютного нуля температур - по шкале отношений (шкала Кельвина) [22]. Следует отметить, что среди специалистов иногда имеются разногласия по поводу того, по каким шкалам следует считать измеренными те или иные реальные величины [37, 39, 40, 63, 89].