Динамика движения материальной точки (стр. 6 из 7)

Всегда хочется убедиться в правильности своего решения задачи. Существует много способов быстро обнаружить ошибку: заглянуть в ответ, позвонить однокласснику, решить задачу другим методом. Но такие возможности есть не всегда. Рассмотрим несколько приемов, которыми часто пользуются физики.

14.1 Проверка по размерности.

В качестве примера возьмем известную задачу:

Через неподвижный блок перекинута незакрепленная нить с грузами массой m₁ и m₂ на концах. Найдите силу натяжения нити Т при движении грузов.

РИС

Ответ: Т= 2m₁m₂g/( m₁ + m₂)

Проверим размерность ответа. Произведение масс, деленное на их сумму, имеет размерность массы, а умноженное на ускорение g – дает размерность силы, как и должно быть: размерности обеих частей ответа совпадают.

14.2 Проверка на предельных случаях

Идея: Взять простейшие значения параметров задачи, такие, при которых ответ и так очевиден, и посмотреть, даст ли общая формула такой же результат.

Вернемся к задаче с блоком и двумя телами.

Если любая из масс (одна!) равна нулю, то оставшееся тело свободно падает, и натяжения нити нет: Т=0. Это же следует из полученной нами формулы.

Другой вариант: при отсутствии гравитации (g=0!) сила натяжения тоже исчезает. В нашей формуле – ответе при g=0 получается то же самое.

Наконец, рассмотрим случай равных масс: m₁ = m₂ = m. При этом грузы будут покоиться или двигаться равномерно. Ясно, что при этом сила натяжения нити Т будет равна весу любого из грузов. Наша формула дает тот же результат.

Заметим, что часто такую проверку устраивают именно на предельных случаях: при самых малых и самых больших (бесконечно больших) значениях параметра.

14.3 Проверка по симметрии

Если в условии нашей задачи мы поменяем местами тела 1 и 2, то ответ – величина силы Т – не изменится (изменится направление движения грузов). Поэтому ответ не должен меняться при перестановке индексов 1 и 2.

Действительно: 2m₁m₂g/( m₁ + m₂) = 2m₂m₁g/( m₂ + m₁).

-----------------------------------------------

15. Динамика вращательного движения материальной точки -

никаких особенностей не имеет. Как обычно, центральное соотношение - это второй закон Ньютона для движущегося (по окружности) тела. Следует, конечно, помнить, что при вращательном движении векторное равенство, выращающее этот закон

F_i =ma,

почти всегда следует спроектировать на радиальное (нормальное) и на касательное (тангенциальное) направления:

F_n=ma_n (*)

F_t=ma_t (**)

При этом а_n =v²/R - здесь v - скорость тела в данный момент времени, а R - радиус вращения. Нормальное ускорение отвечает за изменение скорости только по направлению.

Иногда а_n = v²/R называют центростремительным ускорением. Происхождение такого названия понятно: это ускорение всегда направлено к центру вращения.

РИС

Эта невинная терминология порождает массовое заблуждение. Почему-то считают, что существует некая особая центростремительная сила:

F=mv²/R

Т.е. есть сила тяжести, сила трения, сила нормальной реакции опоры и т.д., а еще есть центростремительная сила. Разумеется, это чушь.

Нет никакой особой центростремительной силы!

mv²/R - это просто то, чему равна алгебраическая сумма проекций всех сил на радиальное направление при вращательном (и вообще - при криволинейном) движении (см. (*)).

РИС

Рекомендация - не пользоваться такими обозначениями, как центростремительная сила и центростремительное ускорение.

-------------------------------------------------------------------------

Порешаем стандартные задачи:

15.1 (Г2.30) Конический маятник

РИС

Шарик, подвешены на нити длиной L, равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. При этом нить образует угол φ с вертикалью. Найдите период вращения маятника.

15.2 Небольшой шарик массой m подвешен на нити.

Нить с шариком отклонили горизонтально и отпустили. Найдите силу натяжения нити в тот момент, когда нить составляла угол 30° с горизонтом.

РИС

Отв. F=(3/2)mg.

15.3 (ПК №2/99 с. 21)

Вокруг вертикально расположенного стержня вращается насаженный на него диск. На диске находится шарик, прикрепленный к стержню нитью длиной L и составляющей угол α со стержне. С каким периодом Т должна вращаться система, чтобы шарик не отрывался от диска?

РИС

Отв: T≥ 2π√ L(cos α)/g

16. Порешаем разные задачи

16.1 (2.1.4)

РИС

Четырьмя натянутыми нитями груз закреплен на тележке.

16.2 (2.1.5)

Какая сила действует в поперечном сечении однородного стержня

РИС

Решение.

16.3 (2.1.6)

РИС

Два тела массы m₁ и m₂

16.4 (2.1.12) Маляр

РИС

Маляр работает в подвесной люльке.

Решение.

16.5 (2.1.13)

Система из трех одинаковых шаров

РИС

Решение.

16.6 (2.1.32)

РИС

Определите силу, действующую на вертикальную стенку

Решение.

16.7 (2.1.14)

РИС

Тела массы m₁ и m₂ соединены пружиной жесткости k.

16.8 (2.1.25)

РИС

Нить, перекинутая через блок с неподвижной осью

Решение.

16.9 (2.1.48)

РИС

Между двумя одинаковыми гладкими брусками

16.10

Тело массой 2 кг лежит на гладком горизонтальном столе. К телу прикрепляют нить и перекидывают ее через блок, укрепленный на краю стола. В каком случае тело будет двигаться с большим ускорением:

а) если за конец вертикальной нити потянуть с силой F=9,8 H?

б) если на конец вертикальной нити подвесить тело массой 1 кг?

РИС

17. Проверочная работа «Что такое» :

Что такое:

- и.с.о.?

- способ определения инерциальности данной системы отсчета?

- инертная масса тела?

- 1 кг?

- условия справедливости 2-го закона Ньютона?

- сила?

- то, из чего следует 3-ий закон Ньютона?

- то, из-за чего так важен 2-ой закон Ньютона?

ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ

1. Вглядываясь во второй закон Ньютона,

мы можем докопаться (чисто логически!) до одной идеи, которую впервые озвучил еще Галилей, но значение которой физики (и благодарное человечество) оценили лишь спустя 250 лет, во времена Максвелла, Пуанкаре и Эйнштейна.

Итак:

в и.с.о. a=F/m

Обратите внимание: в законе не говорится, в какой именно и.с.о. справедливо равенство F=ma. Это значит, что связь между силой и ускорением имеет один и тот же вид в любой и.с.о. Задумаемся: основной закон классической механики не должен менять своего вида при изменении системы отсчета, лишь бы она оставалась инерциальной. Иначе говоря, соотношение между величинами остается тем же самым для любых двух наблюдателей, которые движутся относительно друг друга с постоянной по величине и направлению скоростью:

-----------------

РИС

-----------------

Строго говоря, это означает, что второй наблюдатель может (в результате измерений) получить другое значение силы (F¢), другое значение массы (m¢) и другое значение ускорения (a¢). Но вот вид самого закона должен остаться прежним: F¢=m¢a¢. Возникает довольно естественная мысль: если основной закон механики не меняется в зависимости от выбранной и.с.о., то вполне вероятно, что и остальные законы механики тоже обладают таким замечательным свойством - их вид не зависит от выбора и.с.о.

Такую мысль впервые высказал сам Галилей. Как обычно, свою гипотезу он предварил рядом мысленных экспериментов. В одном из них вода капала вниз, попадая в узкое горлышко бутылки. Галилей говорил: если поставить такой опыт не у себя в комнате, а в каюте равномерно движущегося корабля, то результат будет один и тот же:

------------------

РИС

------------------

капли воды не отстают от движущейся (относительно берега) каюты. Причину Галилей видел в том, что

все инерциальные системы отсчета равноправны с точки зрения механики.

Современная формулировка этого положения звучит так:

ПОГ - Принцип Относительности Галилея.

Это действительно физический принцип, т.е. положение, основанное на результатах многочисленных экспериментов.

Запомним этот результат, потому что нам он пригодится задолго до того, как мы займемся теорией относительности Эйнштейна.

2. РОЛЬ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ - ВИД ДВИЖЕНИЯ В РАЗНЫХ С.О.

Одно замечание. Вспомним, что масса тела не меняется при переходе к другой системе отсчета: m=m¢. А сила? А значение силы для любого наблюдателя - это та риска динамометра, против которой находится конец пружины:

------------

РИС

------------

Может ли измениться число против этой риски от того, что я буду идти мимо этой пружины, а не стоять рядом? Вряд ли! А тогда - по второму закону Ньютона - и ускорение будет обладать тем же свойством: a=a¢ - неизменностью при переходе к другой и.с.о. Кстати, вывод про ускорение тела можно было сделать, не прибегая ко второму закону, а пользуясь только определением ускорения (попробуйте сделать это самостоятельно!).