Логические основы схемотехники (стр. 1 из 2)

1. Опадчий Ю.Ф. и др. Аналоговая и цифровая электроника. – М.: Радио и связь, 2002. – 768 с.

2. Степаненко И.П. Основы микроэлектроники: Учеб. пособие для вузов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. – 488 с.

3. Ермаков А. Е. Схемотехника ЭВМ. Учебное пособие. -М.: РГОТУПС, 1997. – 352 с.

4. Семененко В.А., Скуратович Э.К. Арифметико-логические основы компьютерной схемотехники. Учебное пособие для высшей школы (Серия "Gaudeamus"). – М.: Академ. проект, 2004. – 144 с.

5. Угрюмов Е.П. Цифровая схемотехника. BHV-Санкт-Петербург, 2004. – 528 с.

6. Новиков Ю.В. Основы цифровой схемотехники: Базовые элементы и схемы. Методы проектирования. М., Мир. – 2001. – 379 с.

7. Разевиг В. Д. Система схемотехнического моделирования MICRO-CAP. – М.: Издательство «СОЛОН», 1997. – 373 с.

2.2 Дополнительная литература

1. Прянишников В.А. Электроника: Курс лекций. – СПб.: КОРОНА принт, 1998. – 400 с.

2. Гусев В.Г., Гусев М.Ю. Электроника. – М.: Высш.шк. 1991. – 495 с.

3. Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника: Справочное руководство – М.: Мир. 1982. – 512 с.

4. Гершунский Б.С. Основы электроники и микроэлектроники: Учебник для вузов – Киев: Высща школа, 1989. – 424 с.

5. Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники. В трех томах. - М. Мир, 1993.

Тема. Логические основы схемотехники

Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания.

Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний.

Логическое высказывание — это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo.

Так, например, предложение “6 — четное число” следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение “Рим — столица Франции” тоже высказывание, так как оно ложное.

Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями не являются, например, предложения “ученик десятого класса” и “информатика — интересный предмет”. Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие “интересный предмет”. Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла.

Предложения типа “в городе A более миллиона жителей”, “у него голубые глаза” не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами.

Высказывательная форма — это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание “площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн кв. км” в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой — истинным. Ложным — так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным — если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике.

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не”, “и”, “или”, “если... , то”, “тогда и только тогда” и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.

Так, например, из элементарных высказываний “Петров — врач”, “Петров — шахматист” при помощи связки “и” можно получить составное высказывание “Петров — врач и шахматист”, понимаемое как “Петров — врач, хорошо играющий в шахматы”.

При помощи связки “или” из этих же высказываний можно получить составное высказывание “Петров — врач или шахматист”, понимаемое в алгебре логики как “Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно”.

Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание “Тимур поедет летом на море”, а через В — высказывание “Тимур летом отправится в горы”. Тогда составное высказывание “Тимур летом побывает и на море, и в горах” можно кратко записать как А и В. Здесь “и” — логическая связка, А, В — логические переменные, которые мoгут принимать только два значения — “истина” или “ложь”, обозначаемые, соответственно, “1” и “0”

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

(1) Операция, выражаемая словом “не”, называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием. Высказывание

истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. “Луна — спутник Земли” (А); “Луна — не спутник Земли” (

(2) Операция, выражаемая связкой “и”, называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой "•" (может также обозначаться знаком &). Высказывание А•В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание

“10 делится на 2 и 5 больше 3”

истинно, а высказывания

“10 делится на 2 и 5 не больше 3”,
“10 не делится на 2 и 5 больше 3”,
“10 не делится на 2 и 5 не больше 3”

ложны.

(3) Операция, выражаемая связкой “или” (в неразделительном, неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание

“10 не делится на 2 или 5 не больше 3”

ложно, а высказывания

“10 делится на 2 или 5 больше 3”,
“10 делится на 2 или 5 не больше 3”,
“10 не делится на 2 или 5 больше 3”

истинны.

(4) Операция, выражаемая связками “если ..., то”, “из ... следует”, “... влечет ...”, называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком ^. Высказывание А ^ В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В — ложно.

Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере высказываний: “данный четырёхугольник — квадрат” (А) и “около данного четырёхугольника можно описать окружность” (В). Рассмотрим составное высказывание А ^ В, понимаемое как “если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность”. Есть три варианта, когда высказывание А ^В истинно:

1. А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность;

2. А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника);

3. A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.

Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

В обычной речи связка “если ..., то” описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться “бессмысленностью” импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими:

“если президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы”,
“если арбуз — ягода, то в бензоколонке есть бензин”.

(5) Операция, выражаемая связками “тогда и только тогда”, "необходимо и достаточно”, “... равносильно ...”, называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ~ . Высказывание А ~ В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Например, высказывания

“24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3”,
“23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3”

истинны, а высказывания

“24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5”,
“21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3”

ложны.

Высказывания А и В, образующие составное высказывание А ~ В, могут быть совершенно не связаны по содержанию, например: “три больше двух” (А), “пингвины живут в Антарктиде” (В). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания “три не больше двух” (

), “пингвины не живут в Антарктиде” (

). Образованные из высказываний А, В составные высказывания A~B и

истинны, а высказывания A~

~B — ложны.