Расчет характеристик участка линейного нефтепровода (стр. 3 из 3)

где (1)

Дифференцируя второе уравнение по х и учитывая первое, получим уравнение:

. (2)

Для упрощения уравнения примем

, тогда уравнение запишем:

. (3)

Напишем для него начальные и граничные условия:

Начальные условия:

.

при:

где

есть единичный скачек.

Решим уравнение (3) используя метод преобразования Лапласа.

Для этого, вместо Р введем вспомогательную величину Р^*, такую что

где S - оператор (4)

тогда граничные условия перепишутся в виде:

1.

2.

(5)

Умножим обе части уравнения (3) на e^-St и проинтегрируем в пределах от 0 до

во времени

(6)

Рассмотрим левую часть уравнения

. (7)

Рассмотрим левую часть уравнения

. (8)

Приравниваем обе части:

. (9)

Найдем сначала решение однородного уравнения

. (10)

Пусть Р^* определяется как

.

Нам необходимо определить

и С

откуда , а .

Тогда решением уравнения является

(11).

Для определения коэффициентов С₁ и С₂ учтем граничные условия

х=0;

(12)

x = L;

(13)

отсюда выразим значения С₁ и С₂ :

,

(14).

Подставив найденное значение коэффициентов в (11) окончательно получаем:

(15).

Применим к выражению (15) обратное преобразование Лапласа

(16)

где

окончательно запишется:

(17).

Разложив подынтегральную функцию в ряд Тейлора, ограничившись первыми двумя членами и взяв интегралы, мы получим конечную формулу:

Формула имеет вынужденную и свободную составляющие. Нас интересует поведение свободной составляющей.

Построим график динамического режима линейного нефтепровода (свободной составляющей) в точке х = 60 км.