Расчет и конструирование типового оборудования (стр. 7 из 35)

Рис. 3.6. Элемент тонкостенной оболочки

3.2. Уравнение равновесия элемента (уравнение Лапласа)

Выделим элемент на срединной поверхности оболочки вращения и рассмотрим равновесие этого элемента. Элемент выделяем с помощью двух сечений по параллельным кругам и двух сечений, проходящих через ось и меридианы оболочки

(рисунок 3.7).

Рис. 3.7. Выделение элемента на срединной поверхности оболочки

Рис. 3.8. Силы, действующие на элемент срединной поверхности

Сумма проекций действующих на элемент сил на ось Z, совпадающую с нормалью к поверхности выделенного элемента в точке С:

(3.2)

(3.3)

sin x

получим:

Разделив на , придем к выражению вида

0 . (3.6)

Разделив уравнение (3.6) на толщину оболочки S и учитывая, что

T U

S к и S m, получим уравнение

. (3.7)

Теорию расчета оболочек, в которой для определения меридиональных и кольцевых напряжений учитывают только растягивающие и сжимающие усилия, называют безмоментной теорией.

Основным исходным уравнением безмоментной теории является уравнение Лапласа (Лаплас Пьер Симон (1749-1827), французский астроном, математик и физик, см. Приложение):

, (3.8)

где – меридиональное напряжение;

– кольцевое напряжение;

– первый главный радиус кривизны; _к – второй главный радиус кривизны; P – внутреннее избыточное давление; S_p – расчетная толщина стенки оболочки.

Контрольные вопросы к лекции 3

1. Какие оболочки называют тонкостенными?

2. Что такое срединная поверхность, параллельный круг, меридиан?

3. Какое сечение называют первым и вторым главным сечением?

4. Какие напряжения действуют в стенках сосуда?

5. Запишите уравнение Лапласа и объясните смысл входящих в нег0 величин.

6. Чем характеризуется безмоментная теория?

Лекция 4. Тема " Основы теории тонкостенных оболочек. Приложение безмоментной теории расчета тонкостенных оболочек к расчету корпусов тонкостенных аппаратов"

Рассматриваемые вопросы: Приложение безмоментной теории расчета тонкостенных оболочек к расчету корпусов тонкостенных аппаратов. Уравнение равновесия зоны. Частные случаи применения безмоментной теории к расчету сосудов. Тонкостенный цилиндр, нагруженный внутренним газовым давлением. Тонкостенная сферическая оболочка, нагруженная внутренним газовым давлением.

4.1. Уравнение равновесия зоны

Аппараты, рассчитываемые по безмоментной теории тонкостенных оболочек, должны удовлетворять следующим обязательным условиям:

–

толщина стенок должна быть малой, т.е. ^S _D 0,1. Вследствие малой толщины стенки можно считать, что нормальные напряжения растяжения (сжатия) не изменяются по толщине

стенки;

– по форме аппарат обязательно должен представлять собой тело вращения;

– нагрузка должна быть симметричной относительно оси вращения (осесимметричной).

Основное исходное уравнение безмоментной теории – уравнение Лапласа (3.8). Неизвестными в данном уравнении являются напряжения _m и _к . Очевидно, что для определения двух неизвестных необходимо использовать еще одно уравнение. Таким уравнением является уравнение равновесия зоны.

Рассмотрим уравнение равновесия зоны оболочки. Кольцевым сечением выделим зону на произвольном уровне mn (рисунок 4.1). Кольцевое сечение – сечение оболочки конической поверхностью, образующие которой пересекают поверхность оболочки под прямым углом, а значит, величина этой образующей равна второму главному радиусу кривизны

.

На зону оболочки действуют следующие нагрузки:

– интенсивность давления среды q на данном уровне mn;

– вес содержимого в зоне G;

– сила упругости – меридиональная сила U.

Радиус кривизны кольцевого сечения

АВ

.

Радиус параллельного круга

r BA A C _к sin .

Составим условие равновесия выделенной зоны: алгебраическая сумма проекций всех сил на ось хх равна нулю.

U 2 r sin q r² G 0. (4.1)

Отсюда находим величину меридиональной силы U:

G q r²

U . (4.2)

2 r sin

Меридиональное напряжение

U

. (4.3)

S

Величину кольцевого напряжения _к определяют из уравнения Лапласа (3.8), подставляя значение _m , рассчитанное по формуле (4.3).

Итак, для определения напряжений в любом сечении тонкостенной осесимметричной оболочки по безмоментной теории необходимо решить два уравнения – уравнение равновесия зоны и уравнение равновесия элемента (уравнение Лапласа).

4.2. Частные случаи применения безмоментной теории к расчету сосудов

Тонкостенный цилиндр, нагруженный внутренним газовым давлением

Запишем уравнение Лапласа (3.8) для цилиндра:

. (4.4)

R

Из уравнения Лапласа кольцевое напряжение

Рис.4.2. Цилиндр, нагруженный внутренним газовым давлением

Уравнение равновесия зоны для цилиндра:

U 2 R P R² 0 . (4.6)

Из уравнения равновесия зоны

P R

U . (4.7)

2

Меридиональное напряжение

U P R

m . (4.8)

S 2S

Сравнивая формулы (3.12) и (3.15), получим:

. (4.9)

Анализируя выражение (4.9), приходим к выводу, что в сварных аппаратах цилиндрической формы продольные сварные швы являются более нагруженными, чем кольцевые. Поэтому требования к продольным швам выше, чем к кольцевым.

Тонкостенная сферическая оболочка, нагруженная внутренним газовым давлением

Рис.4.3. Сферическая оболочка, нагруженная внутренним газовым давлением

Для сферической оболочки первый и второй радиусы кривизны равны радиусу оболочки:

R . (4.10)

Уравнение Лапласа для сферической оболочки:

. (4.11)

R

Из уравнения Лапласа можно найти только сумму напряжений:

P

. (4.12)

S

Уравнение равновесия зоны для сферической оболочки:

U 2 r sin P r² 0, (4.13)

где r R sin .

Из уравнения равновесия зоны (рис. 3.20) получим, что

P R

U , (4.14)

2S

а, следовательно, меридиональное напряжение

U P R

m . (4.15)

S 2S

Тогда из уравнения (4.11) определяем кольцевое напряжение

P R P R P R

к m. (4.16)