Расчет и конструирование типового оборудования (стр. 8 из 35)
S 2S 2S
Сравнивая значения напряжений для цилиндрической и сферической оболочек одинакового радиуса R , нагруженных внутренним давлением P, заключаем, что кольцевые напряжения в сферической оболочке в два раза ниже, чем в цилиндрической. Практическое значение этого вывода заключается в том, что для элементов сферической формы общие напряжения будут ниже, чем в элементах цилиндрических и других форм. Поэтому в аппаратах больших диаметров применяют полусферические днища, меньшая толщина которых приводит к экономии металла, снижению веса.
Контрольные вопросы к лекции 4
1. Почему уравнения Лапласа недостаточно для определения главных напряжений в стенках сосуда? Какое уравнение используют совместно с уравнением Лапласа?
2. Привести уравнение Лапласа для цилиндра, нагруженного внутренним газовым давлением.
3. Привести уравнение Лапласа для сферической оболочки, нагруженной внутренним газовым давлением.
4. Каково соотношение величин меридиональных и кольцевых напряжений в цилиндрической и сферической оболочках?
Лекция 5. Тема " Основы теории тонкостенных оболочек.
Оценка прочности тонкостенных сосудов"
Рассматриваемые вопросы: Напряжения изгиба, возникающие в стенках тонкостенного сосуда. Главные напряжения в тонкостенных оболочках. Оценка прочности тонкостенных сосудов. Определение расчетной толщины стенки для цилиндрической, сферической и конической оболочки.
5.1. Напряжения изгиба, возникающие в стенках тонкостенного сосуда
Исходным уравнением для расчета на прочность тонкостенных оболочек по безмоментной теории служит уравнение Лапласа (3.8). При расчете по безмоментной теории учитываются только растягивающие напряжения m и к , называемые главными напряжениями. Однако, строго говоря, под действием внутреннего давления стенка цилиндрической оболочки работает не только на растяжение, но и на изгиб. Для оценки величины напряжения изгиба 
и рассмотрим деформацию элемента АВ цилиндрической оболочки под действием внутреннего давления (рисунок 5.1). Здесь R – радиус цилиндра до нагружения внутренним давлением Р; R+ R – радиус цилиндра с учетом упругой деформации от давления Р. 
Рис. 5.1. Деформация цилиндрической оболочки от внутреннего давления
В результате упругой деформации участок дуги АВ принимает размеры А'В' под действием растягивающих кольцевых сил Т. Кроме этого, элемент дуги изменяет свою кривизну под действием кольцевых изгибающих моментов Mи , действующих в плоскости параллельного круга.
По закону Гука относительное удлинение
к P R . (5.1)
E E S
Под влиянием изгибающего момента Mи изменяется радиус кривизны элемента на величину R, которую можно определить1 1 1 1
.
R R R R R R R R
Изгибающий момент пропорционален изменению кривизны
Mи E J , (5.2)
R R
где J - момент инерции.
Пренебрегая величиной R как малой по сравнению с R, получим
Mи E J . (5.3)
R
С учетом (5.1)
P
Mи J . (5.4)
S
Напряжения изгиба
, (5.5)где W - момент сопротивления изгибу.
Для прямоугольного элемента длиной l и высотой S
l S2 l S3
W ; J . (5.6)6 12
Подставив выражения (5.4) и (5.6) в (5.5), получим
. (5.7) 
Отсюда видно, что напряжения изгиба, возникающие в стенке цилиндрической оболочки под действием внутреннего давления, не зависят от толщины стенки, радиуса и материала цилиндрической оболочки и составляют половину величины внутреннего давления. Сопоставляя величины растягивающих напряжений и напряжений изгиба, видим, что напряжения изгиба малы по сравнению с напряжениями растяжения m и 
.Поэтому в практических расчетах изгибающие моменты в тонкостенных цилиндрах не учитывают и расчет проводят только с учетом растягивающих напряжений по безмоментной теории.
4.4. Оценка прочности тонкостенных сосудов
Согласно безмоментной теории, в каждом элементе тонкостенного сосуда действуют два главных напряжения
и 
Третье главное напряжение – радиальное – сжимающее напряжение. В тонкостенных обечайках радиальное напряжение практически не изменяется по толщине стенки и не превышает величины действующего давления, поэтому по сравнению с главными напряжениями полагают 
0 . 
Рис.5.2. Главные напряжения
Для оценки прочности малого элемента тела, находящегося в сложном напряженном состоянии, используют различные теории прочности в зависимости от принятого критерия прочности. Для пластичных материалов, к которым относят стали, используют III теорию прочности (приложение), по которой главную роль в наступлении опасного состояния (перехода упругих деформаций в пластические) играют касательные напряжения. Пластические деформации возникают, когда максимальное касательное напряжение достигает предельного значения, равного полуразности наибольшего и наименьшего главных напряжений.
Главные напряжения, действующие в тонкостенной оболочке, нагруженной внутренним избыточным давлением к m r . По III теории прочности касательное напряжение , равное полуразности наибольшего и наименьшего r главных напряжений, не должно превышать половины допускаемых напряжений, действующих при одноосном нагружении: 
(5.8)2 2 2
или
Рис. 5.3. К определению расчетной толщины стенки
Используя формулу (3.4) для определения кольцевых напряжений и учитывая, что радиус срединной поверхности R Dc 2, получим значение расчетной толщины стенки 
P Dc . (5.10)Sp
2 к
Подставив вместо кольцевого напряжения значение допускаемого напряжения и введя для сварных сосудов коэффициент прочности сварных швов , получим
P Dc . (5.11)Sp
2
Заменив средний диаметр на внутренний диаметр ( Dc D Sp ) в соответствии с рисунком 5.3, получим формулу для расчета толщины стенки цилиндрической обечайки, нагруженной внутренним избыточным давлением:Sp
. (5.12)Аналогично можно получить формулу для расчета толщины стенки сферической оболочки:
(5.13)
. (5.14)Рис. 5.4. К расчету конической обечайки
Учитывая, что для конической обечайки
, получимформулу для расчета толщины стенки конической обечайки:
Sp
, (5.15)где Dк - расчетный диаметр конической обечайки.
Контрольные вопросы к лекции 5
1. Оцените величину напряжений изгиба в тонкостенных оболочках.
2. Какие главные напряжения действуют в тонкостенных оболочках? Какие напряжения являются наибольшими?
3. На основе какой теории прочности оценивают прочность тонкостенных оболочек?
4. Как определяют толщину цилиндрической, сферической и конической оболочек?
Лекция 6. Тема "Элементы моментной теории тонкостенных оболочек "
Рассматриваемые вопросы: Причины возникновения краевых нагрузок. Краевая сила и краевой момент. Краевая задача. Распорная краевая сила. Уравнения совместимости деформаций. Определение краевых сил и моментов. Краевые напряжения. Длинные и короткие обечайки.