В наиболее общем смысле теория оптимизации представляет собой совокупность фундаментальных математических результатов и численных методов, ориентированных на нахождение и идентификацию наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать полного перебора и оценивания возможных вариантов. Процесс оптимизации лежит в основе всей инженерной деятельности, поскольку классические функции инженера заключаются в том, чтобы, с одной стороны, проектировать новые, более эффективные, менее дорогостоящие технические системы и, с другой стороны, разрабатывать методы повышения качества функционирования существующих систем.

Эффективность оптимизационных методов, позволяющих осуществить выбор наилучшего варианта без непосредственной проверки всех возможных вариантов, тесно связана с широким использованием достижений в области математики путем реализации итеративных вычислительных схем, опирающихся на строго обоснованные логические процедуры и алгоритмы, на базе применения вычислительной техники. Поэтому для изложения методологических основ оптимизации требуется привлечение важнейших результатов теории матриц, элементов линейной алгебры и дифференциального исчисления, а также положений математического анализа. Математические понятия и конструкции используются не только для того, чтобы повысить уровень строгости представления материала, но и потому, что они составляют терминологическую базу изложения, которая позволяет упростить описание и определение структурных элементов рассматриваемых вычислительных процедур и облегчить их понимание.

Поскольку размерность инженерных задач, как правило, достаточно велика, а расчеты требуют значительного времени, оптимизационные методы ориентированы главным образом на реализацию с помощью ЭВМ.

Задание

Вариант 2

Дана несепарабельная функция двух переменных:

где

Дана начальная точка поиска -

, где

Получим функцию:

1) Найти безусловный экстремум функции f(x,y) методами:

-наискорейшего спуска;

-сопряженных направлений.

Точность вычислений:

/x_i₊₁-x_i/<0.01

/y_i₊₁-y_i/<0.01

/f(x_i+1,y_i+1)-f(x_i,y_i)/<0.01

2) Найти условный экстремум функции f(x,y) методом симплексных процедур при наличии следующих ограничений:

3) Выполнить синтез оптимальной по быстродействию системы с помощью принципа максимума Понтрягина (критерий по быстродействию), передаточная функция объекта имеет вид:

, где K=1, Т=1.

- разработать модель для данного типа ОСАУ;

- провести исследование ОСАУ с применением программного продукта

“20 SimPro 2.3”;

- снять переходные и импульсные характеристики.

1. Анализ методов определения минимального, максимальногозначения функции без ограничения

В данном разделе будет рассматриваться задача безусловной оптимизации, т.е. данная задача характеризуется тем, что минимум функции f: R^m  R ищется на всем пространстве:

f(x)  min, x  R^m.

Методы безусловной оптимизации функции многих переменных отличаются относительно высоким уровнем развития по сравнению с другими методами нелинейного программирования. Условно их можно разбить на три широких класса по типу используемой информации:

1) Методы прямого поиска, основанные на вычислении только значений целевой функции.

2) Градиентные методы, в которых используются точные значения первых производных f (x).

3) Методы второго порядка, в которых наряду с первыми производными используются также вторые производные функции f (x).

1.1 Методы прямого поиска

Здесь предполагается, что f (x) непрерывна и унимодальная. Если рассматриваемые методы применяются для анализа мультимодальных функций, то приходится ограничиваться идентификацией локальных минимумов. К особенностям этих методов можно отнести:

1) относительная простота соответствующих вычислительных процедур, которые быстро реализуются и легко корректируются;

2) не требуют явного выражения целевой функции в аналитическом виде;

3) может требовать более значительных затрат времени по сравнению с методами, основанными на производных.

Метод поиска по симплексу

Процедура симплексного метода базируется на регулярном симплексе. Регулярный симплекс в N-мерном пространстве представляет собой многогранник, образованный N+1 равностоящими друг от друга точками - вершинами. Так в задаче с двумя переменными симплексом является равносторонний треугольник, с тремя - тетраэдр.

Работа алгоритма симплексного поиска начинается с построения регулярного симплекса в пространстве независимых переменных и оценивания значений целевой функции в каждой из вершин симплекса. При этом отбрасывается вершина, которой соответствует наибольшее значение целевой функции.

Преимущества метода:

· сравнительная простота логической структуры метода и, соответственно, программы для ЭВМ;

· используется сравнительно небольшое число заранее установленных параметров;

· невысокий уровень требований к ЭВМ.

· алгоритм эффективен даже в тех случаях, когда ошибка вычисления значений целевой функции велика, т.к. при его реализации используют наибольшие значения функции в вершинах, а не меньшие.

Недостатки метода:

· возникает проблема масштабирования, поскольку все координаты вершин симплекса зависят от одного масштабного множителя. Чтобы избежать такого рода проблем в практических задачах, следует промасштабировать все переменные с тем, чтобы их значения были сравнимы по величине;

· алгоритм работает достаточно медленно, т.к. полученная на предыдущих итерациях информация не используется для ускорения поиска;

· не существует простого способа расширения симплекса. Требуется перерасчет значений целевой функции во всех точках образца.

Метод поиска Хука-Дживса

Процедура поиска Хука-Дживса представляет собой комбинацию "исследующего поиска" и "ускоряющего поиска по образцу".

Исследующий поиск ориентирован на выявление локального характера поведения целевой функции и определение направлений вдоль "оврагов". Для проведения исследующего поиска необходимо задать величину шага, которая может быть различной для разных координатных направлений и изменяться в процессе поиска. Поиск начинается в некоторой исходной точке. Если значение целевой функции в пробной точке не превышает значение функции в исходной точке, то шаг поиска рассматривается как успешный. В противном случае необходимо вернуться в предыдущую точку и сделать шаг в противоположное направление с последующей проверкой значения целевой функции. После перебора всех N координат исследующий поиск завершается. Полученную в результате точку называют "базовой точкой".

Поиск по образцу заключается в реализации единственного шага из полученной базовой точки x^k вдоль прямой, соединяющей эту точку с предыдущей базовой точкой x^k-1. Новая точка образца x^k+1 определяется в соответствии с формулой

x^k+1 = x^k + (x^k - x^k-1).

Как только движение по образцу не приводит к уменьшению целевой функции, точка x^k+1 фиксируется в качестве временной базовой точки и вновь проводится исследующий поиск. Если в результате получается точка с меньшим значением целевой функции, чем в точке x^k, то она рассматривается как новая базовая точка x^k+1.

Оптимальная система автоматического управления (стр. 1 из 7)

Чебоксары 2008

1.1 Методы прямого поиска