II.Ход урока.
2.1. Прежде чем перейти к изучению нового материала, вспомним:
2.2. А теперь перейдем к изучению нового материала.
Ученик делает доклад по данной теме, отвечает на вопросы одноклассников .
Содержание доклада ученика :
Теория сравнений дает следующий способ проверки арифметических действий.
Выбираем некоторый модуль т и заменяем большие числа а,в,с,…, над которыми нам надо производить действия (сложение, умножение, вычитание, возведение в степень), небольшими числами а’ , в’ , с’ ,…, сравнимыми с ними по модулю т. Произведя действия над а, в, с,…, мы такие же действия производим над а’ , в’ , c’ ,…. Если действия произведены верно, то результаты этих действий должны быть сравнимы по модулю т.
Действительно, согласно свойствам сравнений,
если
a≡a’(mod m) , b≡b’(mod m),... ,
то
a+b+...≡a’+b’+...(mod m),
a•b•... ≡a’•b’•... (mod m),
an≡bn(mod m).
Применение этого способа имеет смысл только в том случае, когда нахождение таких чисел а’ ,b’ , c’ , … осуществляется легко и не требует большого времени. Для этого обычно в качестве модуля выбмрают m=9 и т=11, так как признаки делимости на эти числа наиболее просты в применении. . Сформулируем способы проверки арифметических действий “с помощью девятки” и “с помощью одиннадцати”.
По признаку делимости на 9: каждое число, записанное в десятичной системе счисления, сравнимо с суммой его цифр по модулю 9. Исходя из этого, способ формулируется следующим образом:
Способ проверки с помощью девятки.
Для каждого числа вычисляется остаток от деления на 9 суммы цифр. Производя действиянад числами, производят такие же действия над этими остатками. Результат рассматриваемых действий над этими остатками должен отличаться от суммы цифр искомого результата на число, кратное девяти.
По модулю 11 каждое число, записанное в десятичной системе счисления, будет сравнимо с суммой цифр, взятых справа налево попеременно со знаками “плюс” и “минус”(согласно признаку делимости на 11). Следовательно, следующий способ формулируется так:
Способ проверки с помощью одиннадцати.
Для каждого числа вычисляется остаток от деления на 11 суммы цифр, взятых попеременно справа налево со знаками “плюс” и “минус”. Результат рассматриваемых действий над этими остатками должен отличаться от суммы взятых попеременно со знаками “плюс” и “минус” цифр искомого результата на число, кратное 11.
2.2. Итак, вы прослушали новый материал, записали необходимые теоретические факты. Теперь наша с вами задача усвоить данный материал на 1,2 уу.
2.3.Сформулируйте способ проверки арифметических действий с помощью девятки.
2.4. Попробуйте составить алгоритм применения данного способа к решению задач.
Ответ : Чтобы проверить арифметические действия над целыми числами с помощью девятки, надо:
2.5. Применим данный алгоритм к следующей задаче:
Проверить с помощью модуля 9, верен ли результат умножения
73416 · 8539 = 626899224
Ответ : 1) находим суммы цифр первого и второго сомножителей, а также сумму цифр результата умножения.
7+3+4+1+6=21;
8+5+3+9=25;
6+2+6+8+9+9+2+2+4=48.
2) находим остатки от деления полученных чисел на 9:
3) производим над остатками те же действия, что и над данными числами:
3 ·7 =21
4) сравниваем полученный результат с третьим остатком
21 ≡48 (mod 9)
5) таким образом, умножение произведено верно.
2.6.Следующий пример я предлагаю вам решить самостоятельно.
После того, как первый способ проверки арифметических действий будет усвоен, аналогично организовывается работа по усвоению способа проверки арифметических действий с помощью одиннадцати.
Затем ученикам предлагается решить следующую задачу:
Проверить , верно ли , что
5839131309
67377= 85847
Данная задача содержит провокацию на ошибку, т.к. при проверке действий с помощью девятки результат получаем верный, а при использовании способа проверки с помощью одиннадцати, получаем неверный результат.
После решения данной задачи ученикам предлагается сделать вывод о том, что при сложных вычислениях имеет смысл проводить две проверки: одну с помощью модуля 9, а другую с помощью модуля 11. В этом случае ошибка не будет замечена только если она кратна 99, что бывает очень редко.
III.Анализ результатов.
3.1.Итак, наше занятие подошло к концу, давайте подведем его итоги. Как вы думаете, поставленная нами в начале урока цель реализована или нет и почему вы так считаете?
3.2. Спасибо за урок!
Модель № 3. (Основные моменты организации урока)
Тема урока: Решение задач на применение теории сравнений.
ОЦ: Обеспечить обобщение знаний по теме “Теория сравнений целых чисел” на 1,2 уу.
ВЦ: Воспитывать самостоятельность учащихся
РЦ: Посредством материала темы развивать мышление учащихся.
Содержание урока.
I. Постановка целей и сообщение темы урока.
1.1. Как было решено на прошлом занятии, сегодня мы с вами будем решать задачи на применение теории сравнений. Давайте сформулируем цели данного занятия и составим его план .
Ответ учеников:
Цель занятия : Научиться применять теорию сравнений к решению различных математических задач, при этом быть активными, целеустремленными, воспитывать в себе самостоятельность.
План занятия : 1) Актуализировать необходимую теорию.
2) Решить несколько задач, при этом составить алгоритмы решения каждой из них и обобщить эти алгоритмы на целый класс подобных задач.
3) Подвести итог занятия, проанализировать достижение или недостижение поставленных целей.
1.2. Давайте выясним, какие знания нам необходимо актуализировать для того , чтобы переходить к непосредственному решению задач?
Ответ учеников:
1) Определение сравнения двух чисел по данному модулю
2) Основные свойства сравнения
3) Области применения теории сравнений целых чисел
II. Ход урока.
Ученики, ответственные за данный урок предлагают классу различные задачи, решаемые посредством теории сравнений. Учащиеся самостоятельно проводят анализ условия задачи, предлагают способы ее решения, выбирают из предложенных наиболее рациональный , делают выводы, составляют алгоритмы решения задач данного типа.
Роль учителя на данном этапе урока состоит в руководстве ходом урока, направлении мыслей учащихся в нужном направлении.
III.Анализ результатов.
Учащиеся самостоятельно анализируют результаты урока, делают выводы по развитию своей самостоятельности, планируют свою деятельность на следующем занятии(выбирают тему и форму проведения урока).
***
На каждом из описанных моделей уроков ученики учатся производить свободный осознанный выбор, за который в дальнейшем им прийдется в той или иной степени нести ответственность, учатся планировать и анализировать свою деятельность . Учитель во всех этих случаях является организатором , наставником и помошником учеников.
2.3. Организация взаимодействия учителя и учащихся на субъектно – субъектных отношениях, обеспечивающих воспитание самостоятельности учащихся.
В 7”А” классе средней школы № 63 г.Хабаровска были проведены занятия по разработанным моделям уроков, представленным в пункте 2.2. данной работы.
В ходе данного эксперимента учащимся была предоставлена возможность проявить свои творческие способности, показать уровень математических знаний , а также применить имеющиеся знания в нестандартных ситуациях на занятиях математического кружка.
В результате проведения данного эксперимента у учащихся были развиты следующие способности и качества:
1. Умение самостоятельно ставить цель , планировать свою деятельность по ее достижению и анализировать полученные результаты.
2. Способность свободно и осознанно делать выбор.
3. Умение работать над данной проблемой , используя различный дидактический материал , а также собственные мыслительные способности.
4. Способность нести ответственность за принятые решения и предвидеть возможные результаты.
Таким образом, теория сравнений выступила средством развития самостоятельности учащихся как одного из ведущих качеств личности.
З а к л ю ч е н и е .
В результате работы над курсовой были разработаны и опробированы на практике теоретические основы и процессуальные аспекты развития самостоятельности учащихся 7 классов средней школы на математическом кружке .
Тем самым, можно считать , что цель курсовой работы реализована, а следовательно проблема организации учебного процесса, обеспечивающего воспитание и развитие самостоятельной личности, частично снята.
Библиография.
1. Бухштаб А.А. Алгебра и теория чисел. – М.,1960. – 540 с.
2. Вахрушев М, Боброва В.Г. Общая характеристика развития личности подростка. – Ростов на Дону, 1966 г. – 147 с.
3. Воронько Т.А., Кармакова Т.С. Общая методика преподавания математики. – Хабаровск, 1998г.
4. Дворянкина Е.К. Развитие субъектной позиции будущих учителей в педагогическом вузе как гуманистическая основа их профессионального обучения. Дисс…канд. пед.наук.-Хабаровск, 1999. – 165 с.
5. Есипов Б.П. Самостоятельная работа учащихся на уроках. – М., 1961. – 154 с.
6. Куликова Л.Н. Проблемы саморазвития личности . – Хабаровск , 1997. – 315 с.
7. Педагогика . Учебное пособие для студентов педагогических вузов и педагогических колледжей./ Под ред. П.И.Педкасистого. – М. : Педагогическое общество России, 1998. – 640 с.
8. Пидкасистый П.И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении. - М. : Педагогика, 1980. – 240 с.
9. Пидкасистый П.И., Портнов М.Л. Искуксство преподавания. Первая книга учителя. – М. , 1998. – 184 с.
10. Рапацевич Е.С. Словарь – справочник по научно – техническому творчеству. – Мн. , 1995. – 375 с.