может в некоторых случаях играть эту роль при подходящей величине с (причем х обозначает первоначальную переменную, а х' — преобразованную переменную). Нормализация переменной имеет преимущество в том случае, когда применяются машинные методы вычисления.
5. Гораздо чаще (по причинам, о которых мы уже говорили) для определения интервалов между измерениями останавливаются на нормальной кривой. Однако, формально любая кривая может играть ту же самую роль.
Так, если вычисляют различия между квартилями, децилями или сантилями, уславливаются определять интервалы, придавая распределению прямоугольную форму: по определению, все классы в этом типе шкал имеют одинаковый состав. Г. А. Фергю-сон (1949) пред ставил теоретические аргументы, с точки зрения уровня отношения порядка, в пользу принятия прямоугольного распределения для оценок теста: это распределение сводит к минимуму число пар индивидов, о которых невозможно сказать, какой индивид выше.
На экзаменах требуется установить границу между теми, кто принят, и теми, кто не принят. Ошибки классификации будут тем многочисленнее, чем большее число лиц окажется в пограничной области. Следовательно, здесь мы вынуждены стремиться к бимодальной кривой с минимумом на уровне границы. Заметим, что нормальное распределение с границей на уровне средней представляет собой прямую противоположность желаемым условиям.
Б) Другие статистические определения
К этой рубрике мы будем относить такие статистические методы определения интервалов, при которых не прибегают (или прибегают не только) к форме распределения.
а) Коэффициент умственной одаренности. Это понятие представляет интерес лишь в той мере, в какой значение, принятое за QI, превышается в любом возрасте одинаковой долей популяции. Можно попытаться, как это сделали Термэн (1919) и Термэн и Мер-рилл (1937), изменять экспериментальные условия, стараясь путем последовательных приближений достичь этого результата. Но этот способ чрезвычайно дорог и несовершенен. Гораздо проще использовать преобразования распределений полученных оценок для репрезентативных возрастных групп, выбираемых таким образом, чтобы преобразованная оценка имела во всех возрастных группах одинаковую форму распределения (нормальную), одинаковую среднюю (100) и одинаковое стандартное отклонение (15) (Уечлер, 1944). Интервалы в таких кривых распределения будут выражать свойства, принадлежащие переменной QI (Рёш-лен, 1959).
б) Внутрииндивидуалъное многообразие. В данном случае проблема состоит в том, чтобы определить интервалы между несколькими измерениями, произведенными на одном и том же индивиде в различных экспериментальных условиях; например, определение отклонений, устанавливающихся между оценками, получаемыми тем же самым индивидом в различных тестах (Пьерон, 1945). Популяция индивидов, подвергшихся всем этим тестам, служит общей основой сравнения. Если все межиндивидуальные распределения имеют одну и ту же форму (нормальную), то можно преобразовать грубую оценку индивида в тесте, выражая ее в форме приведенного отклонения (ecart reduit): отклонения этой оценки от средней оценки, измеренного в единицах, равных стандартному отклонению межиндивидуального распределения в этом тесте. Приведенные отклонения, выражающие результаты одного и того же индивида в различных тестах, сравнимы, если постулировать, что различные тесты имеют одинаковую межиндивидуальную дисперсию в популяции. В данном случае видно, что внутрииндивидуальные отклонения определяются, исходя из постулата, касающегося меж-яндивидуальных дисперсий. Эта обработка превращает, таким образом, каждого испытуемого в переменную, и в таком случае можно вычислить корреляции, производить факторный анализ «между личностями», что было предложено почти одновременно Томсоном (1935) и Стефенсоном (1935).
в) Метод парных сравнений. Если можно определить отношение порядка в некоторой совокупности, то можно, в частности, в отношении каждой пары элементов, взятых в этой совокупности, сказать, какой из них выше. Все эти суждения должны быть связными и позволять упорядочивать серию из всех таким образом сравненных элементов. Тёрстон (1927) предложил принять несколько дополнительных постулатов, позволяющих в тех же экспериментальных условиях определять дистанции между сравниваемыми элементами. Главный из этих постулатов касается формы распределения восприятий, вызываемых повторным предъявлением одного и того же стимула одному и тому же индивиду или предъявлением этого стимула разным индивидам. Это распределение предполагается нормальным. Другие постулаты касаются корреляции между отклонениями для двух сравниваемых стимулов, наблюдаемыми в ходе последовательных предъявлений, и дисперсий распределений. Эти постулаты придают смысл опре-делению интервалов между двумя стимулами, исходя из пропорции случаев, в которых один объявляется выше другого. Как и при простом упорядочении, таким образом определяемые интервалы между парами элементов должны составлять связную совокупность. В частности, нужно, чтобы шкала оставалась линейной и чтобы между тремя точками А, В и С можно было проверить равенство
AB+BC=AC.
Эти возможности проверки предусмотрены методом, наиболее доскональное изложение которого можно найти у Тёрстона (1952, стр. 167) и Фавержа (1954, стр. 62). Метод парных сравнений применялся в психофизике (шкала веса), в экспериментальной эстетике, социальной психологии (шкала серьезности различных проступков) и т. д.
Испытуемому предъявляют все возможные пары стимулов из серии стимулов, которые должны быть представлены на шкале. Понятно, что задание может быть достаточно объемистым, если стимулов много, и в этом практическая трудность применения данного метода (поскольку существует п (п — 1)/2 пары для п стимулов). В отношении каждой пары отмечают, какой стимул испытуемый считает выше другого (тяжелее, приятнее, серьезнее и т. д.). Повторяя эксперимент на нескольких испытуемых, можно узнать для каждой пары (А, В), какая пропорция испытуемых предпочитает А, а какая В. Вычисления исходят из таблицы этих пропорций, установленных для всех пар (причем каждый стимул фигурирует одновременно и на линии, и в колонке).
г) Многомерные шкалы. Может случиться, что дистанции, полученные посредством применения предыдущего метода, не будут зависеть от гипотез о линейной шкале измерения. Однако если дистанции между различными точками таковы, что все эти точки не могут лежать на одной прямой, то можно задать вопрос, возможна ли их репрезентация в пространстве в 2, 3,. . ., п измерений. Для определения дистанций в подобных случаях вначале по мысли М. У. Ричардсона (1938) Юнгом и Хаузхольдером, а позднее другими исследователями, например Мессиком (1956), была разработана техника так называемых многомерных шкал. Например, можно предлагать оценивать предметы с помощью триады, ограничиваясь тем, чтобы спрашивать оценщиков, какой из объектов В и С больше «похож» на данный объект А. Не обязательно уточнять, с какой точки зрения следует искать «сходство», причем возможное существование нескольких точек зрения при сравнениях обнаруживается при необходимости обращения к дистанциям, измеряемым в пространстве с несколькими измерениями. Мы не можем описывать здесь этот довольно сложный метод анализа. Как и метод парного сравнения, он применялся в психофизике (где он позволил найти характеристики «отражательной способности» и «чистоты» таблиц атласа Манселла), а также в социальной психологии (характеристики, используемые в обычном языке для описания других лиц в повседневной жизни и т. д.).
§ 3. Свойства чисел
Свойства чисел, приписываемых по шкале интервалов, таковы, что они сохраняются неизменными после линейного преобразования: у = ах+b. Можно сказать также, что в такой шкале остаются произвольными начало (параметр b) и единица (параметр а). Мы видим, что ранг элементов, расклассифицированных по переменной х, останется неизменным, если их расклассифицировать по переменной г/, и что, следовательно, числа обладают здесь по крайней мере свойствами тех чисел, которые приписывались по шкале порядка. Но сверх того мы видим, что если два интервала равны в отношении переменной х, то они остаются равными и в отношении z/, что показывает, что линейное преобразование сохраняет свойство чисел, соответствующее экспериментальному свойству, на котором основывается построение шкалы.
Возможность определения того, что является дистанцией между двумя вещами, оправдывает численные обработки, использующие различие между их измерениями, причем числа приписываются таким образом, чтобы равные различия соответствовали равным дистанциям.
Есть, следовательно, смысл вычислять среднее арифметическое подобных измерений, определяемое тем, что сумма отклонений различных элементов от среднего равна нулю. Если переменная подвергается линейному преобразованию, то численное значение средней также будет преобразовано, однако новое численное значение сохранит свое свойство и в новом распределении.
Полезно также вычислять статистику дисперсии, получаемой посредством численной обработки отклонений, например стандартного отклонения. При линейном преобразовании у = ах--Ь стандартное отклонение окажется умноженным на а, но сохранит неизменными свои свойства. Кроме того, шкала интервалов, для которой предстоит дать нормальное распределение(а это обязательно в случае, когда пользуются нормальным распределением для определения интервалов), среднее арифметическое и стандартное отклонение дадут возможность использовать таблицу нормального закона. В этом случае особенно полезно выразить измерение каждого элемента в форме приведенного отклонения (отклонения от средней, измеренного при применении стандартного отклонения в качестве единицы): таблица дает пропорцию элементов, превышающих данное приведенное отклонение. Для всякого частного распределения можно построить таблицу, дающую для каждого значения переменной соответствующее приведенное отклонение или кратное этого приведенного отклонения. В таком случае иногда говорят о «приведенной шкале», «тетронаже» (Вайнберг, 1937). Вполне очевидно, с одной стороны, что применение этих таблиц не меняет формы распределения, а с другой—что линейное преобразование переменной не сказывается на приведенном отклонении какого-либо элемента.
Фактически эти таблицы дают лишь приближенное значение приведенного отклонения или одного из его кратных. Например, тетронаж пользуется классами, интервал которых равен четверти стандартного отклонения. Границы класса 0 устанавливаются таким образом, чтобы он охватывал все элементы, отклоняющиеся от среднего арифметического самое большее на восьмую часть стандартного отклонения. Границы классов +1,+2ит. д. устанавливаются посредством прибавления четверти стандартного отклонения к высшей границе непосредственно предшествующего ему класса. Границы класса —1, —2 и т. д. устанавливаются посредством вычитания четверти стандартного отклонения от нижней границы класса* стоящего непосредственно выше него. Тетронаж дает, следовательно, учетверенную величину приведенного отклонения с приближением примерно Vg стандартного отклонения.
По той же причине полезно вычислять коэффициент корреляции между двумя переменными величинами на шкалах интервалов, исходя из отклонений от средней, измеренных на каждой шкале. Известно, что этот коэффициент является средним произведением приведенных отклонений, причем каждое элементарное произведение является результатом умножения двух отклонений, полученных для каждого элемента ансамбля. Линейные преобразования, производимые на двух переменных, оставят этот коэффициент неизменным, поскольку они не сказываются на приведенных отклонениях. Как правило, это вычисление производят лишь в тех случаях, когда можно ввести дополнительные спецификации, касающиеся, во-первых, каждой переменной (они должны быть нормально распределены), а во-вторых, обеих переменных (частные средние должны располагаться на «прямой регрессии», все частные распределения должны быть нормальными и одинаковой вариабильности). Если эмпирические данные с экспериментальной точки зрения удовлетворяют этим новым условиям («двустороннее нормальное распределение»), их числовая обработка позволяет получить коэффициент корреляции Бравэ — Пирсона, который как таковой по сравнению с коэффициентами, о которых шла речь выше, обладает новыми свойствами. Достаточно знать значение коэффициента, чтобы вывести из него наиболее вероятное значение приведенного отклонения одной переменной, зная приведенное отклонение для другой переменной; ошибку этого выведенного отклонения; пропорцию элементов, превышающих такое приведенное отклонение одной из переменных и такое же приведенное отклонение другой.
Эти новые свойства коэффициента корреляции, связанные с новой спецификацией условий, которые должны быть эмпирически проверены посредством измерений, являются еще одной иллюстрацией идеи, служащей нам руководящей нитью всего этого изложения. Сама эта идея позволяет нам понять роль постулатов которые были введены в определение шкал интервалов. Если они являются средством определения смысла слов, которые мы употребляем для описания операций экспериментатора, то они .включают в границах этих определений смысл слов, которые мы употребляем для описания результата нашей числовой обработки. Так, мы можем условиться говорить, подобно Фехнеру, что экспериментатор, определивший две различительные ступени, установил границы двух «равных» интервалов ощущения. Но наше последующее утверждение, являющееся результатом определенной числовой обработки, согласно которой ощущение изменяется как логарифм интенсивности стимула, лишено всякого смысла вне связи с нашим первоначальным определением «равенства» интервалов ощущения. Такое же замечание напрашивается, по-видимому, и в отношении постулата о нормальном распределении, столь часто используемом для определения шкал интервалов.
Разговор о подобных способах рассуждения может происходить на двух уровнях. Прежде всего можно спросить, насколько тесная связь устанавливается между каждым предварительным эмпирическим условием и выводом. Эта связь в одних случаях больше, в других — меньше. Так, выше мы перечислили те условия, которые необходимы, чтобы распределение при двух переменных было нормальным, то есть таким, к которому применим коэффициент корреляции Бравэ — Пирсона. Такой статистик, как Хотеллинг (1955, стр. 123), однако допускает, что в большинстве случаев достаточно отдельной нормализации каждой из двух переменных, чтобы распределение считалось нормальным распределением. Разговор на другом уровне предполагает, что конструкция, образованная несколькими постулатами и связанными с ними выводами, не составляет изолированной системы, а непременна включается в более широкую совокупность наблюдений, теорий, практических выводов всей психологии в целом. Эта совокупность не структурирована достаточно точно, чтобы всегда можно было со всей определенностью знать, связано ли подобное частное построение с другими. Однако может представиться возможным более или менее решительно, в зависимости от обстоятельств, ввести понятие «успеха» подобного построения: удается ему или не удается сделать связными до сих пор изолированные результаты или теории, приведет оно или нет к эффективному применению. Стивене (1951, стр. 28) считает, что постулат, касающийся нормального-распределения психологических измерений, оказался плодотворным (и это свидетельство тем больше заслуживает нашего упоминания, что сам Стивене не часто пользуется этим постулатом).
В заключение этого изложения свойств чисел, приписываемых по шкале интервалов, можно констатировать, что большинство
обработок, которые может применять психолог, правомочны на этом уровне. По-видимому, дальнейшие поиски должны быть направлены скорее на обсуждение методов, применяемых для определения равенства интервалов, чем на достижение посредством более специфических операций более мощных методов измерения. Следует, однако, напомнить, что Стивене предложил экспериментальные методы, которые позволяют, по-видимому, пользоваться такими числами, при которых начало отсчета перестает быть произвольным, как это было в отношении всех методов, рассмотренных до сих пор.