Итак, весь этот комплекс неявного знания необходим для выполнения простейших математических действий. А все умения и навыки, присущие личности, базируются наряду с осознанным, алгоритмизированным знанием на знании неявном, представляющем собой личностный опыт освоения математики и передающемся во время обучения. Если индивидуально-психологические особенности личности не способствуют успешному освоению чужого опыта а, значит, и формированию своего как неявного личностного знания, то и обучение в целом вряд ли будет успешным. Это следует из теории неявного знания М. Полани [4].
Неявное знание как априорное и как опыт математического мышления в основном и составляет предпосылки, необходимые для формирования определенного стиля математического мышления. Можно сказать, что неявное знание и представляет собой тот инструмент, при помощи которого, или, точнее которым и осуществляется в дальнейшем само математическое исследование. Это именно та основа, на которой и формируются предпосылки, составляющие костяк метода, позволяющего получить теоретические утверждения, которыми, по выражению М. Полани, наполнены учебники [4]. Необходимость неявного знания объединяет и интуитивистов и аналитиков.
Неявное знание с трудом поддается не только алгоритмизации, но и простейшей вербализации. Наряду с априорным знанием оно включает в себя также нерационализированные результаты работы математической интуиции, в своем роде издержки математического мышления. Это объясняется тем, что не все неявное знание может "проявиться". Некоторая его часть так и не может "пробиться" из области подсознания. Там это остаточное неявное знание может вступить во взаимодействие с неявным знанием, уже накопленным личностью. Это чаще всего происходит в так называемых пограничных состояниях - во время засыпания или вообще во сне. Мыслительный процесс практически никогда не прекращается. Все неявное знание как таковое можно рассматривать как материал для мыслительной деятельности математика, как источник гипотез. Ведь неявное знание через комплекс неосознанных ощущений напрямую связано с областью бессознательного и поэтому обладает значительной эвристической мощностью. Понятно, что чем более мощным слоем неявного знания обладает математик, тем больше оригинальных идей он может высказать. В итоге сложнейшей интеграции встраивания остаточного неявного знания в неявное знание, уже существующее, неожиданно, как бы сами собой могут решаться давно забытые задачи. Накапливаясь, нерационализированные издержки работы интуиции могут породить путаный, непоследовательный стиль математического мышления. Даже у сильных математиков часть продуктов деятельности математической интуиции остается нерационализированной и как бы "застревает" в подсознании, иногда становясь помехой мыслительному процессу и осложняя его. В отдельных случаях может возникнуть иллюзия доказательства. Видимо, это и происходит в основном в случаях получения все новых "доказательств" теоремы Ферма.
Такое неявное знание в математике представляет собой скрытые леммы или определения, имеющие вид аксиом, как, например, постулат параллельных до открытия неевклидовой геометрии.
Понимание того, что неявное знание в математике действительно существует и играет важнейшую роль, пришло в математику только в нашем столетии, при попытках перестройки математики на единой аксиоматической основе. Выяснилось, что многие доказательства некорректны из-за наличия явно не сформулированных, недоказанных или ложных посылок. Для повышения уровня математической строгости необходимо указанные посылки выявить и обосновать. Без решения этой проблемы формализация доказательств невозможна, в том числе и с помощью компьютера [10]. Математическая логика, как относительно новая область математики, также занимается обоснованием важных методов доказательства математики, считавшихся ранее эвристическими, и входивших в неявное знание. В качестве примера здесь может быть рассмотрен такой интересный и распространенный метод математического доказательства как метод интерпретаций, имеющий весьма богатую историю [11]. Практически все серьезные математические методы прошли извилистый и долгий путь от неявной эвристики до строгих теоретических утверждений. В этом смысле вся история математики может рассматриваться как история рационализации ее неявных методов и предпосылок, ранее составляющих личностную компоненту математического знания, и в результате исторического обоснования преобразовавшихся в строгие математические утверждения.
Важность неявного знания в математике обусловлена также высоким уровнем абстрагирования, присущим математике вообще и математике современной в особенности, как преимущественно науке об абстрактных структурах. Здесь речь идет о необходимости постоянного осуществления математической символизации, которая заключается в отождествлении определенного феномена реальности с некоторым математическим символом. Известно, что "исходные" математические символы "держатся" на априорном знании, о чем более подробно говорилось здесь ранее. Поэтому кажущаяся очевидность и легкость этой символизации не должна никого вводить в заблуждение. А когда речь идет о математических абстракциях более высокого уровня, значительно удаленных от первоначальных математических объектов, ситуация еще более осложняется. Это связано с возникновением так называемого неявного коэффициента математической символизации, который через неявное знание и далее через область бессознательного должен связывать абстракцию математики с реальностью. Разумеется, это объяснение несколько схематично. Причина здесь в том, что эти связи глубоко личностны и составляют часть неявного знания, которое неспецифицируемо [4], вследствие чего алгоритмизировать их не представляется возможным. Более подробное исследование возможно лишь в конкретных случаях, когда хорошо известна история формирования какого-либо математического понятия. Простейшим примером в этом смысле является понятие бесконечно малой в математике - можно рассмотреть ее историю от лейбницевской монады до термина математического анализа. Определенно можно сказать лишь то, что подобные связи формируются на уровне личностного практического освоения математики. Понятно, что при этом возможно неосознанное чисто механическое использование абстракций, когда в них видят нечто вроде счетных палочек. Чем выше уровень абстракций, тем солиднее неявный коэффициент математической символизации и более вероятна такая возможность. В подобных случаях, разумеется, возможность рационализации значительно снижается.
Думается, что можно не сомневаться в том, что интуиция и неявное знание практически формируют стиль математического мышления. По крайней мере можно утверждать, что именно эти факторы формируют математика прежде всего как интуитивиста, в идеале - как генератора новых идей. Однако нельзя не отметить, что иногда стиль мышления математиков-интуитивистов настолько необычен, что ни они сами, ни исследователи их творчества не могут дать этим идеям достаточного теоретического обоснования. Например, индийский математик С. Рамануджан обладал уникальной способностью суммировать сложнейшие ряды пользуясь исключительно неявными эвристиками, которые не мог рационализировать даже он сам. Понятно, что их автор обладал солидным запасом неявного знания, и это целиком определяло стиль его математического мышления [6]. Вопрос о возможности обоснования методов Дж. Буля, которым он пользовался при создании булевой алгебры, также до сих пор остается открытым [12]. Здесь также можно говорить об особом значении интуиции и неявного знания в стиле мышления Дж. Буля.
В общем-то подобные примеры нетипичны, но, разумеется, тот факт, что интуиция и неявное знание в основном определяют стиль математического мышления и имеют при этом личностный характер, не может не осложнять понимание между математиками и затрудняет освоение математическим сообществом новых оригинальных идей. Дело в том, что согласно теории неявного знания, такие идеи невозможно чисто механически "пересадить" из одной головы в другую. Эта операция является просто механической вербализацией и ничего общего с подлинным пониманием не имеет. В свете теории неявного знания очевидно, что подлинное наше понимание невозможно без наведения связей с нашим личностным знанием - возможно, через какие-то ключевые термины, имеющие значение в рамках нашего личностного знания. То есть все чужие идеи или чужое знание должны укорениться в почве нашего личностного знания, стать частью нашего познавательного опыта. Относительно математики это значит, что новое математическое знание должно стать частью нашего личного опыта математического мышления.
Однако, поскольку математика отличается строгой общезначимостью символов и терминов, а также предельным дедуктивизмом, по крайней мере, в плане теоретического обоснования, понимание в области математики предполагает сведение личностного фактора к минимуму и не допускает интерпретативных отклонений от общезначимой теории. Следствием недопустимости личностной интерпретативности математической теории является необходимость серьезных личностных затрат на практическое освоение теории в целях решения задач. Наверное, каждый человек, имеющий хотя бы школьный опыт практического освоения математики согласится, что математика - особый предмет, требующий углубленного изучения и дающийся далеко не всем. А ведь еще необходимо участие личностного фактора при осуществлении математической символизации - этого нельзя избежать при исследовании на самом высоком метатеоретическом уровне (об этом здесь говорилось ранее).