В дискуссии обсуждались 5 главных проблем: 1) проблема непротиворечивости и полноты теории (математики), 2) обоснования теории, 3) существования математических объектов, 4) природы познания, 5) реальности и ее единства.
Проблема непрерывности и полноты.
Брауэр: классическая математика противоречива, т.к. опирается на теорию множеств, содержащую парадоксы. Новая (интуиционистская) математика рассматривает мир мысленных процессов, развертывающихся в последовательность элементарных актов (шагов). Результаты этих процессов - математические объекты и конструкции.
Гильберт: классическая математика непротиворечива, ее теории полны, т.к. а) ее конструкции продуманы и признаны математическим сообществом, б) она прекрасно работает в практике. Бессмысленна замена классической математики на интуиционистскую, т.к. последняя неполна, это обрезанная (секвестированная) математика.
Проблема обоснования.
Брауэр: только такая математика обоснована, которая соответствует критериям интуиционизма как конструктивному обобщению человеческого опыта. Аксиоматический метод и формализация не выражают сущности математического мышления, т.к. скрывают за языковой формой эту сущность. Убедительное обоснование математики дает лишь интуиция как непосредственное внутреннее безъязыковое переживание образов, идущих из глубины "я". Лишь по требованию социума ученый вынужден облекать эти образы в языковую форму и тем искажать их (в точности, как у Ф.И.Тютчева: "мысль изреченная есть ложь"). У Гильберта же математика вырождается в игру формулами.
Гильберт: классическая математика обосновывается коллективным опытом научного сообщества. Окончательное обоснование даст теория доказательств. Она является "протоколом о правилах мышления". Ее существенной частью являются формализм и аксиоматический метод. Задача науки - освобождение от субъективизма, который достиг своего наивысшего выражения в интуиционизме.
Проблема существования математического объекта.
Брауэр: математический объект существует, если он построен явно или его построение возможно с помощью алгоритма. Теоремы о существовании без построения не имеют никакого значения.
Гильберт: объект существует, если он непротиворечив. Доказательсва существования сокращают и экономят мысль. Они всегда были вехами математического прогресса.
Проблема природы мышления.
Брауэр: математическое мышление опирается на интуицию (прежде всего интуицию времени, интуицию раздвоения единого). Существуют исходные принципы мышления, но они лишь результат свободного творения математика-индивида. Изначально математическое исследование не зависит ни от языка, ни от логики. Главный метод мышления - интроспекция. Обыденное знание выше формального. Существуют неразрешимые проблемы.
Гильберт: математическое мышление основано на интеллектуальной ясности. До математики мы имеем опытные представления, конкретные объекты. Математика начинается со знаков, обозначающих эти объекты, и с логики, дающей надежные выводы. Математика интерсубъектна (является результатом коллективного творчества) и, вообще говоря, объективна (в платонистском смысле). Формальное знание выше обыденного. Мир познаваем, все математические проблемы в принципе разрешимы.
Проблема реальности и единства мира.
Брауэр: реальность - это сознание индивида, это образы, мыслеформы, восходящие от внутренней сферы к внешнему миру. Это субъективная реальность. Существует ли объективная реальность, единая для всех индивидов, - открытый вопрос.
Гильберт: существует объективная реальность, данная нам наглядно, в качестве чувственных переживаний до какого то ни было мышления. Единство мира проявляется в математике как универсальном языке, раскрывающем сущность мира.
Как мы знаем, в споре не оказалось победителя. Интуиционистская и теоретико-множественная математики дополняют друг друга.
Гильберт и Брауэр работали в различных областях. Гильберт ясен, последователен, логичен. Более склонен к формальному мышлению, что особенно видно на теории доказательств. Он платонист и кантианец. Его стиль можно назвать формально-платонистским. Это господствующий стиль, т.к. абсолютное большинство математиков - платонисты.
Брауэр же пытался оторваться от платонизма, порвать с античной традицией математиков оперировать идеальными объектами подобно материальным предметам. Отсюда впечатление противоречивости. Хотя с точки зрения классически мыслящего ученого он действительно противоречив: работал и теоретико-множественными методами (в топологии), и интуиционистскими, создавая принципиально новую неплатонистскую математику.
Определенными сдвигами в неплатонистском направлении стали также конструктивизм, теория категорий, некоторые теории в логике. Действительно, если радикализировать позицию Брауэра, высказать её ещё яснее убрать из его философско-математических высказываний натуральные числа, то останется только алгоритм. Тогда не важно ЧТО преобразуется, а важно КАК (само преобразование). По идейному подходу это близко к теории алгорифмов, -исчислению А.Черча, теории категорий. В одном из направлений конструктивизма - теории алгорифмов А.А.Маркова (мл.) главное - само преобразование, но алгорифм понимается платонистски. Однако уже -исчисление, метафорически выражаясь, логика без переменных. Теорию категорий Ю.И.Манин назвал социологическим подходом, т.е. это как бы структуры без элементов, на что первым обратил внимание Ф.У.Ловер.
В чём состоит неплатонистский стиль мышления?
в преодолении мышления целостными "недвижными" понятиями, подобными языковым формам или материальным вещам, и утверждении мышления движущимися образами, становящимися мыслеформами, следовательно, переходными, дробными объектами - фракталами; оперирование ими требует и неплатонистской логики - мышления как бы дробными понятиями, суждениями, умозаключениями;
в отказе от классической тройки: элемент, структура, система, и утверждении системы без элементов, но со структурой (законом);
в отказе от субъект-объектного расщепления бытия, признании его ограниченности и в утверждении единого бытия, в котором слиты объект и субъект.
Подобно тому, как в начале ХХ века в естествознании возникла неклассическая наука, а к концу века - постнеклассическая, также возникла неклассическая математика (интуиционизм), а позже стала развиваться постнеклассическая (например, фрактальная геометрия). Их отличие - в сдвиге к картине мира, в которой в математическое знание включён идеальный мыслящий субъект, в отказе от жёсткой структурности (как в теоретико-множественной картине). Есть классы и структура, но нет элементов. Это предполагает предельно высокий уровень абстрактности (отсюда у конкретно мыслящих математиков возникает ощущение пустоты категорных форм).
Неплатонизм предполагает мышление самоподобными объектами - фракталами. Их странность в том, что невозможно выделить части (они совпадают с целым) - у них нет структуры как связи элементов. В то же время есть закон. Например, это формула Б.Мандельброта: Zn+1 = Zn2 + C.
Таким образом, интуиционизм, метаматематика, фрактальная геометрия образуют зачатки неплатонистской математики - области свободно становящихся объектов, относительно которой возникает ощущение, что в ней НЕТ классических (теоретико-множественных) понятий, или их может не быть - они уходят на второй план. В то же время и здесь ЕСТЬ неизменные идеальные объекты, например, алгоритм, фрактал (как формула, организующая его, или соответствующая геометрическая картинка, мыслимая как завершённое целое) - но это при платонистской интерпретации, тогда исчезает специфика неплатонизма, его шарм, брауэровский привкус.
Мы получаем противоположности, отрицающие друг друга (НЕТ и ЕСТЬ) - с точки зрения двузначной логики.
Учёному же, стремящемуся к мудрости (философу), необходимо преодолеть ограниченность двузначности - подняться над противоположностями и, следовательно, искать МЕЖДУ "существует" и "не существует", то есть, в области становления - именно здесь область роста постнеклассической математики.
Эта область заполнена одними лишь монстрами - странными объектами, подобно кентавру совмещающими в себе взаимоисключающие свойства, например, наличие структуры при отсутствии элементов, неподвижность и вечное движение, живость и мертвенность - как фракталы, а также непрерывность при недифференцируемости, конечность площади при бесконечности периметра - как давно открытые некоторые функции и фигуры. Причём исторически первый монстр - это иррациональные числа (VI в. до РХ). В гармонической картине мира древних греков этих чисел как бы нет, и в то же время они налицо - как диагональ квадрата.
На единичном отрезке прямой рациональные числа (вида m/n) образуют множество меры 0 (их почти нет), а иррациональные - меры 1 (это почти все числа). Подобным же образом почти всё, что есть во всей математике как мире всех возможных миров - это монстры, а прекрасные гармоничные непротиворечивые понятия образуют множество меры 0. Это наилучший из всех возможных миров. Это наш мир, поскольку человеческий род в принципе прекрасен и может устойчиво существовать (жить) лишь в окружении прекрасного. Так монадология Лейбница и антропный принцип сходятся в хаосе - промежуточной области вечного становления, между "да" и "нет". Хаос здесь уступает своей творящей стороной.