Проблемы гуманитаризации математического образования (стр. 2 из 2)

Таким образом, сложилась ситуация, при которой, с одной стороны, студенты испытывают трудности в освоении классического математического анализа, а с другой ─ мы не успеваем рассмотреть даже некоторые современные направления развития математического анализа, среди которых: функциональный анализ, вариационное исчисление и др.

То же самое относится к курсам алгебры и геометрии. Так, например, из курса геометрии полностью ушел раздел, касающийся дифференциальной геометрии и топологии, составляющий основу современного геометрического образования.

Мы не являемся сторонниками сокращения изучаемого материала по математическому анализу за счет удаления из него наиболее сложных и, как правило, наиболее важных тем. Наоборот, студенты педагогического университета должны, помимо хорошего знания классического дифференциального и интегрального исчисления, познакомиться с современными направлениями развития математического анализа и его приложениями. В отличие от курса для студентов МГУ здесь предполагается только знакомство, а не овладение современным математическим аппаратом.

Следует не ограничивать, не сужать кругозор студентов, а дать им возможность познакомиться со всем богатством, накопленным человечеством в области математики. В этом и состоит смысл гуманитаризации курса математики в педагогическом университете.

Укажем некоторые пути и резервы для решения этих проблем применительно к курсу математического анализа.

Можно отказаться от доказательства некоторых теорем, носящих вспомогательный характер или вводимых по аналогии с ранее доказанными теоремами, перенеся их в разряд самостоятельной работы.

Так, например, для самостоятельной работы можно перенести доказательство некоторых арифметических свойств показательной, логарифмической и тригонометрических функций. Доказав теоремы о пределе суммы и произведения, аналогичную теорему о пределе частного можно отнести в самостоятельную работу.

Устранить дублирование между курсами алгебры, геометрии и математического анализа.

Так, например, в курсе математического анализа можно несколько сократить время на изучение площади и объема, учитывая, что они изучаются и в курсе геометрии.

Использовать такие определения и формулировки, которые позволяют избегать сложных доказательств и в то же время расширяют область приложений.

Так, например, обычно в курсе математического анализа длина кривой определяется как предел длин вписанных ломаных при стремлении диаметров разбиений к нулю. Доказательство того, что длина гладкой кривой выражается определенным интегралом, чрезвычайно громоздко и проводится обычно только для случая, когда кривая является графиком функции. В общем же случае параметрически заданной кривой формула принимается без доказательства.

Недостатком такого определения длины кривой является не только громоздкость доказательства общего случая, но и то, что этот способ не проходит при определении площади поверхности и уж тем более для более высоких размерностей.

Другой способ определения длины кривой основан на использовании бесконечно малых и определенного интеграла как суммы бесконечного числа бесконечно малых величин. Гладкая кривая, заданная параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t),   t  , представляется состоящей из бесконечно большого числа бесконечно малых участков, соответствующих бесконечно малым приращениям dt параметра t. Учитывая гладкость, каждый такой участок можно считать бесконечно малым отрезком, соединяющим точки с координатами (x,y), (x+dx,y+dy), длина dl которого вычисляется по обычной формуле

dl=

Длина l всей кривой представляет собой сумму длин ее бесконечно малых участков.

Следовательно,

l=

Такой способ позволяет избежать сложных доказательств, применим для введения понятия площади поверхности, для нахождения некоторых физических величин (масса, статические моменты, координаты центра тяжести и др.). Сама формула и ее обоснование легко запоминаются.

Еще одним понятием, требующим много времени и большого числа громоздких доказательств, является понятие определенного интеграла.

Обычно определенный интеграл в курсе математического анализа определяется как предел интегральных сумм. Доказываются свойства определенного интеграла, критерий интегрируемости, интегрируемость непрерывной функции и, наконец, формула Ньютона-Лейбница, сводящая определенный интеграл к неопределенному.

Нам представляется, что на первом курсе педагогического университета можно ограничиться определением определенного интеграла через неопределенный по формуле Ньютона-Лейбница. Этого вполне достаточно для приложений и избавляет от необходимости доказывать свойства определенного интеграла, поскольку они следуют из соответствующих свойств неопределенного интеграла. При этом интегральные суммы могут быть использованы как средство приближенного вычисления интеграла. Более сложные вопросы интегрального исчисления можно отнести в курс теории функций действительного переменного, где рассматривается интеграл Лебега.

Много времени в курсе математического анализа обычно уделяется отработке техники вычисления пределов, производных, интегралов, приближенных вычислений, построению графиков и т.д.

Результаты этой работы не всегда оправдывают ожидания. Особенно это касается вычисления пределов и интегралов. Уже на втором курсе, т.е. через год после изучения интегралов, студенты многое забывают, теряют навыки вычисления, затрудняются при нахождении интегралов от некоторых иррациональных функций. Это существенно сдерживает и ограничивает возможности решения прикладных задач на вычисление площадей поверхностей, объемов тел, решение дифференциальных уравнений и т.д.

Выходом из этого является не увеличение времени на отработку техники вычислений, а использование современных компьютерных средств, позволяющих находить пределы, суммы рядов, производные, интегралы, решать дифференциальные уравнения, получать изображения кривых и поверхностей и т.д.

К числу таких средств, например, относятся программы Derive, Mathcad, Mathematica и др. Их использование позволяет не только сократить время на отработку техники вычислений, но и существенно расширить и разнообразить круг решаемых задач, повысить интерес студентов к изучению математического анализа.

Следует шире практиковать обзорные лекции по современным направлениям развития математического анализа, в которых студенты могут познакомиться с современным состоянием науки, ее методами и приложениями.

Все сказанное выше дает возможность не только не исключать из курса математического анализа его важные разделы, но и включить в содержание обучения некоторые современные направления его развития и приложения, расширить кругозор и повысить математическую культуру студентов педагогических университетов.