Понятие о наименьшем общем кратном выражении не следует смешивать с понятием о наименьшем общем кратном их числовых величин. Напр., а2—b2 есть наименьшее общее кратное выражений а+b и а—b; при значениях а=5 и b=3 оно равно 16, наименьшее кратное числовых величин этих выражений при тех же значениях равно 8.
Чтобы составить общее наименьшее кратное одночленов, нужно найти наименьшее общее кратное их числовых коэффициентов и приписать к нему множителями всех первообразных буквенных множителей, входящих в данныя выражения, придав каждому из этих множителей показателя степени наибольшаго между теми показателями, с которыми он входит в данныя выражения(с.92п.2.).
Легко и понятно излагается понятия об уранении и приемах его решения.
Глава III.
Об уравнениях вообще. Решение определенных уравнений 1-й степени с одною неизвестною. Составление уравнений из условий данной задачи.
30. Равенство двух количеств называется уравнением, напр.а = а, За2 — Ь = 2а+b2.
Количество, находящееся по левую сторону знака равенства, называется первою частью уравнения, а то, которое по правую сторону, — второю частью…
31. Способы для решения уравнений основаны на следующих очевидных истинах (аксиомах):
1) Если к равным количествам прибавим равныя, или из равных количеств вычтем равныя, то получим в сумме или остатке равныя количества.
Напр., так как 5=5 и 3=3, то 5+3 = 5+3 и 5—3 = 5—3. Вообще, если а = b и с= d, то а± с=b±d.
2) От умножения или разделения равных количеств на равныя количества, получим равныя произведения или частныя.
Напр., так как 5=5 и 3=3, то 5х3=5х3 и 5/3=5/3; вообще если а=b и с=d, то ас= bd и a/c =b/d…
Примеры:
1) 0,27х — 5,643 — 2х = 6,42 — 8,241х;
4) 10 — {х — [3 — 2х — (4х— 7)]} = х— {10+Зх— [5— (5— Зх;)]}
Поверка решения. Чтобы поварить решение, надобно найденное количество подставить в уравнение вместо неизвестнаго и произвести действия, показанныя в каждой части уравнения. Если получим тожество, то решение верно; в противном случае оно неверно(с.52,53,58 п.1.).
Колоссальный интерес представляют задачи исследовательского характера, предлагаемые учащимся (с.131-132 п.1).
ГЛАВА VIII.
Решения, неудовлетворяющия условиям вопроса. Изследование всех случаев, которые представляют общия формулы, служащия для решения уравнений первой и второй степени.
Отрицательные решения.
59. Может случиться, что, решая уравнения, выведенныя из условий вопроса, мы получим для неизвестных числа, которыя, удовлетворяя уравнениям, не удовлетворяют требованию вопроса. В таком случае или условия вопроса несообразны, или было сделано при составлении уравнения неверное предположение, или полученныя числа представляют решение другаго вопроса.
Пример:
Отцу 41 год, а сыну 14; спрашивается, через сколько лет отец будет в четыре раза старше своею сына?
Означим через х искомое число лет. По прошествии х лет, отцу будет 41 + х лет, а сыну 14 + х,
след. 41 + х = (14 + х) 4, (а)
или 41 + х = 56 + 4х; откуда х = —15/3=–5.
Подставим — 5 вместо х в уравнение (а), получим 41 — 5 = (14 — 5) 4 или 36 = 36;
след. найденное решение удовлетворяет уравнению; но оно не удовлетворяете вопросу, потому что в вопросе требуется положительное число, которое должно прибавить к летам отца и сына. Очевидно, что нет такого числа; в противном случае, оно должно бы удовлетворять непременно уравнению (а) и уравнению —3х= — 15, из него выведенному. А это невозможно; потому что никакое положительное число, подставленное вместо х и помноженное на отрицательное число —3, не может дать положительнаго произведения 15.
Подставив отрицательное решение в уравнение, из котораго оно было выведено, вместо неизвестнаго, мы увидим, какия должно сделать перемены в вопросе, чтобы требования его были возможны. Так, в предыдущем примере, подставив — 5 вместо х в уравнение (а), мы получим 41 —5 = (14 —5) 4.
Это показывает, что из лет отца и лет сына должно вычесть по 5 лет, чтобы года отца были в 4 раза больше лет сына, т. е. пять лет тому назад отец был в четыре раза старте сына.
Очень показательным является разнообразие способов решения одной и той же задачи с помощью уравнения (с.148-151 п.2).
§5. Составление уравнения с одним неизвестным.
Всякая арифметическая задача состоит в том, что по нескольким известным величинам и по данным соотношения между этими известными величинами и другими, неизвестными, отыскиваются неизвестныя. Алгебра дает особый способ для решения арифметических задач. Этот способ основан на том, что словесно выраженныя условия арифметических задач могут быть переводимы на алгебраический язык, т. е. выражаемы посредством алгебраических формул.
Перевод словесно выраженных условий задачи на алгебраический язык вообще называется составлением формул.
Составить по условиям задачи уравнение с одним_неизвестным значит так перевести эти условия на алгебраический язык, чтобы вся совокупность этих условий выразилась одним уравнением, содержащим одно неизвестное. Для этого необходимо, чтобы число отдельных независимых между собой условий задачи было бы равно числу подразумеваемых в ней неизвестных.
Вследствие чрезвычайнаго разнообразия задач приемы составления уравнений, соответствующих этим задачам чрезвычайно разнообразны. Общих правил для составления уравнений нет.
Но есть одно общее указание, которое руководит нашим разсуждением при переводе условий задачи на алгебраический язык и позволяет нам с самого начала разсуждения идти верным путем к достижению окончательной цели. Это общее указание или общий принцип составленя уравнения мы выразим следующим образом:
Чтобы составить по условиям задачи уравнение с одним неизвестным нужно:
1) выбрать между неизвестными, которыя в задачи или прямо указываются, или подразумеваются, какое нибудь одно, принимаемое за первое, и обозначить это неизвестное какой нибудь буквой, напр., х;
2) посредством этого обозначения и обозначенний, данных в задаче, выразить все величины, о которых в задаче прямо говорится, или которыя подразумеваются,наблюдая, чтобы при составлена таких выражений постепенно принимались во внимание все данныя в задаче числа и все относящияся к данным или к неизвестным величинам условия;
3) после такого применения всех условий разыскать между составленными или просто записанными выражениями два таких,которыя в силу одного из данных условий должны быть равны между собою, и соединить эти выражения знаком равенства.
Применим этот принцип к решению задачи:
Задача. Число монет в одном кощельке вдвое меньше,чем в другом. Если выложит из перваго шесть монет, а во второй прибавить восемь монет, то число монет в первом окажется в семь раз менее, чем во втором. Узнать, сколько монет в каждом кошельке?
В этой задаче указаны несколько известных и несколько неизвестных величин. Примем за первое неизвестное число монет перваго кошелька и обозначим его через х. Затем займемся обозначением всех величин, к которым относятся условия задачи.
Число монет перваго кошелька есть х. Отношение чисел монет во втором и первом кошельках 2. Значить число монет второго кошелька 2х. Из перваго вынимают 6 монет. Поэтому в первом кошельке остается монет x— 6. Во второй прибавляют 8 монет.
Следовательно, во втором кошельке получится монет 2х+8. Новое отношение между числами монет второго и перваго кошелька есть (2х+8):(х-6). Оно также равно 7. На этом основании составляем уравнение(2х+8):(х-6)=7, решая которое, получим х=10, после чего нетрудно определить другия неизвестныя, о которых мы здесь упоминали.
Если бы мы приняли за первое неизвестное число монет второго кошелька и обозначили бы его для отличия от предыдущего обозначения черезъ у, то, как легко убедиться, получилось бы другое уравнение, именно (y+8):(y/2-6)=7, которое также разрешает задачу и дает ответ y=20.
Можно было бы принять за первое неизвестное число монет, оказавшееся в первом кошельке после выкладки из него 6 монет, тогда, обозначив это неизвестное через z идя тем же путем, каким мы шли при составлении перваго уравнения,мы получили бы уравнение (2(z+6)+8):z=7, откуда z=4.
Понятно, что многое изменилось в вопросах методики преподавания , но дети повторяют тот же путь, что и их сверстники 100-200 лет тому назад, и психология восприятия предмета мало изменилась, как и психология учителя, вводящего ученика в область определенных знаний. И тут уместно помнить о традициях отечественной педагогики.