Культура математического языка школьников и их познавательная активность
Борейко Л. Н.
Много лет назад мои ученики по поводу трудности очередной математической задачи сказали: «Выучим мы это! Скажите только, для чего это нужно!». С тех пор, готовясь к объяснению нового материала, я постоянно отвечаю на этот вопрос. Особенно важным он видится в связи с современными особенностями формирования речемыслительной деятельности школьников.
Накопленный за годы работы опыт показывает, что мысль воплощается в уверенном, осознанном письменном действии, если она выражалась в речи, опираясь на чувственные ощущения. Формальное усвоение правил приводит как к непрочному их запоминанию, так и к неглубоким знаниям и умениям. В итоге ослабевает познавательная активность учащихся.
В 1999 году вышла последняя книга академика Ю.В.Рождественского «Принципы современной риторики», где были сформулированы принципы новой философии языка. Система общих мест включает в себя область морали, а также гносеологическую и позитивно- познавательную области. Один из ее принципов утверждает: «Слово как лексис становится особенно ответственным, т.к. правильное именование, лежащее в основании лексических единиц, не только толкует назначение и применение всех вещей, но и определяет их понимание, воспитание людей и управление общественными процессами» (выделено Б.Л.). Согласно Ю.В. Рождественскому «от правильности имен зависит правильность речи». Как происходит имятворение при обучении математике в школе?
За последние 50 лет многое изменилось в школьных методиках. Например, в математическом образовании прочно обосновалась ранняя алгебраизация. А сердце по- прежнему откликается на давно минувшее.
Пролистаем страницы старых книг, ощутим остроту и точность слова, почувствуем удивительную ясность формулировок. Многие ли из наших учеников справятся с предлагаемыми заданиями?
1.Начальная алгебра. Составил И. Сомов, ординарный академик императорской академии наук и заслуженный ординарный профессор С.- Петербургского университета. Изд. 5-ое с дополнительными статьями, содержащими курс дополнительного класса реальных училищ. 1880 г. (Изд. 4-ое одобрено Ученым комитетом Министерства народного просвещения как руководство для гимназий и реальных училищ. Изд. 1-ое вышло в 1860 г.)
2.Сборник алгебраических задач. Ч. 1 для классов 3 и 4. Составили Н.А. Шапошников и Н.К. Вальцов. Изд. 5-ое, перепечатанное с 4-ого без изменений. 1895 г.
Вот объяснение перехода от арифметики к алгебре (с.1 п. 1).
Начальная алгебра.
Глава I.
Переход от арифметики к алгебре. Упражнения. Алгебраическое знакоположение. Нахождение численных величин алгебраических выражений.
1. В арифметике были изложены правила для сложения, вычитания,умножения и деления целых и дробных чисел, потом решались помощью этих основных действий над числами различныя задачи, в которых требовалось находить по заданным числам другия, неизвестныя. При этом легко было заметить, что действия, которыя должно было производить над данными числами, чтобы вычислить неизвестныя, зависят от условий задачи, но не зависят от заданных чисел, т. е. от числа единиц или долей единицы, содержащихся в каждом данном ЧИСЛЕ; так что если бы заданы были другия числа при тех же условиях задачи, то правило или способ решения остался бы без перемены, т. е. все задачи одного рода решаются по одному правилу или одним способом. Напр.:
1) Все задачи,в которых по трем данным членам геометрической пропорции требуется найти четвертый член, решаются по общему правилу, названному тройным, а именно неизвестный член, разсматриваемый как крайний, получается перемножением средних членов и разделением полученнаго произведения на данный крайний член.
А так объясняется понятие формулы:
Выражение словами общаго правила вычисления может быть затруднительно, когда задано много чисел и надобно производить над ними много действий; поэтому стали искать средство сокращенно выражать правила вычисления. Для этой цели согласились, вместо слов: сложить, вычесть, умножить, делить, употреблять знаки: +, — , х или. и :, а данныя и искомыя числа означать буквами, (преимущественно латинскими и греческими).
Общее, сокращенное, обозначение способа вычисления помощью зна-ков арифметических действий и букв называется формулою. Напр.:
1)Формула сложения двух чисел есть а+b, где а и b означают всякия слагаемыя.
2)Формула вычитания есть а — b,где а означает какое нибудь уменьшаемое, а b какое нибудь вычитаемое…
5)Формула (а + b — с)d показывает, что надобно сложить два числа а и b, потом из суммы а+b вычесть c, и полученный остаток умножить на d
напр. (5 + 7 — 4)2= 16. (с.2.п.1).
§ 2. Обозначение формул.
Формулой называется соединение двух выражений посредством знака равенства или неравенства.
Формула со знаком равенства называется равенством; напр. a+b=b+a, аbс=сbа суть равенства.
Формула со знаком неравенства называется неравенством: напр. аb>а+b, a/b < а —b суть неравенства.
Всякая формула выражает некоторое соотношение между числами, в ней обозначенными. Формула, можно сказать, есть математическая фраза, написанная на математическом языке.
Составить формулу значит выразить данное соотношение между числами посредством знаков чисел, знаков действий и знака равенства или неравенства. (с.4,п.2).
Понятие степени вводится одновременно с понятием корня (с.6, п.1).
Перемножение равных чисел называется возвышением в степень, а каждый множитель — корнем. Для сокращеннаго обозначения степени, пишется один раз корень, а над ним, немного выше, число, показывающее, сколько раз корень находится множителем Б степени, и названное показателем.
Таким образом: а2 означает квадрат числа а; а3 куб числа а и т. д. Здесь а есть корень, а 2 и 3 суть показатели.
Для показания, что число есть корень данной степени, употребляется знак корень, над которым пишется показатель степени, а по правую сторону знака пишется степень.
Поэтому 2 есть корень 4; 3 есть корень 27. Это выражается словами так: 2 есть квадратный корень из 4, а 3 есть кубический корень из 27…
Мы впоследствии узнаем, как находить корни по данным степеням. Такое действие называется извлечением корня.
Очень интересно вводится понятие отрицательного количества(с.9, п.1).
Отрицательныя и положительныя количества.
…Примером отрицательных чисел может служить: долг, убыток, проигрыш. Если кто нибудь имеет только 2 руб., а должен заплатить 5, то он заплатит только 2 руб. и останется в долгу Зр.,после того его денежное имущество выразится разностью 0 — 3 или отрицательным числом —3.
При введении понятия о подобных членах говорится об их «соединении», а не современном «приведении», которое путают с «привидением» и не понимают, что нужно «видеть» и куда «вести» (с.12.п.1).
Глава П.
Соединение подобных членов. Первыя четыре действия над алгебраическими количествами. Показатели равные нулю и отрицательные.
8. Подобные одночлены. Соединение подобных членов въ многочлен.
Одночленныя количества называются подобными, если по отнятии у них знаков и коеффицыентов, получаются совершенно одинаковыя количества. Напр.:
+ 3/4а2b и — 2/3а2b подобны, потому что, по отнятии у перваго +3/4, а у втораго —2/3, получим а2b и а2b.
Правило знаков вполне обходилось без скобок (с.29-30 п.1).
Алгебраическое деление и алгебраическия дроби.
18. Деление одночленов.
1) Правило знаков. При делении положительных или отрицательных количеств, надобно сделать деление, не обращая внимания на знаки, потом пред частным написать знак +, когда у делимаго и делителя одинаковые знаки, и знак —, когда у них разные знаки. Это основано на том свойстве деления, что делимое равно делителю, помноженному на частное. Когда делимое имеет знак +, то делитель и частное должны иметь одинаковые знаки;
след.(+а):(+b)=(+a/b) + (а:–b)=–а/b
Поверка:
(+а/b)х(+ b) = (+а/b)х b = +а
(–а/b)х(– b) = (+а/b)х b = +а
Если же делимое имеет знак —, то у делителя и частнаго должны быть разные знаки;
след. (–a):(+ b)=(–a/b)
(–a):(–b) =(+ a/b)
Поверка:
(– a/b)х(+b)= (–a/b)х b= –a
(+ a/b)х (–b)=(– a/b)хb= –a
Простым и ясным языком излагается обоснование нахождение наименьшего кратного нескольких целых алгебраических количеств до появления правила приведения дробей к одному знаменателю.
24.Наименьшее кратное нескольких целых алгебраических количеств.
Чтобы целое алгебраическое количество делилось без остатка на другое целое, оно должно его в себе содержать множителем; след. между простыми множителями перваго количества должны находиться все простые множители втораго; притом показатель степени каждаго множителя, общаго обоим количествам, в делимом должен быть не меньше, чем в делителе. Положив, напр., что А делится без остатка на В и в частном получается Q, мы будем иметь А = В х Q.(с.44-45, п.1).
§ 4. Отыскание общаго наименьшаго кратнаго.
Если некоторое выражение делится вполне на каждое из не-скольких данных выражений, то оно называется кратным данных выражений; напр., выражение 6а2b2 есть общее кратное выражений 2а2b и 6b. Представим себе общее кратное нескольких выражений и помножим его на какое нибудь новое выражение; полученное произведение будет также делиться на каждое из данных выражений и следовательно окажется новым общим кратным этих выражений; так в предыдущем примере выражения 2а2b и 6 b имеют общим кратным не одно только выражение 6а2b2, но также 6a3b2, 6а2b3, 12а2b3 и т. под. Вообще каждая система данных выражений имеет безконечное множество различных общих кратных.
Общим наименьшим кратным нескольких данных выражений называется то из общих кратных этих выражений, которое содержит в своем составе наименьшее число первообразных множителей. Напр., наименьшее общее кратное выражений 2а2b и 6b есть 6а2b. Такое кратное должно содержать только тех множителей, которые необходимы для делимости его на данные выражения. По разделении иаименьшаго общаго кратнаго на данныя выражения должны получаться взаимно простыя частныя.