Возможности использования элементов теории вероятностей и статистики на уроках математики в начальной школе (стр. 3 из 7)

Пример 5. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается 1 шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Решение. Событие “извлеченный шар оказался голубым” обозначим буквой A. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию A. В соответствии с формулой получаем

.

Пример 6. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется делящимся на 5?

Решение. Обозначим через A событие “число на взятой карточке кратно 5”. В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию A благоприятствуют 6 исходов (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно,

.

Пример 7. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

Решение. Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). В данном случае m = 9, n = 90:

,

где A — событие “число с одинаковыми цифрами”.

Пример 8. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, что на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

Решение. Обозначим это событие буквой A. Событию A благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6). Всего равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, в данном случае n = 62 = 36 (см. табл. 1). Значит, искомая вероятность

.

Пример 9. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее — получить в сумме 7 или 8?

Решение. Обозначим события: A — “выпало 7 очков”, B — “выпало 8 очков”. Событию A благоприятствуют 6 элементарных исходов, а событию B — 5 исходов (см. табл. 1, рис. 1). Всех равновозможных элементарных исходов — 36, что видно из той же таблицы. Значит:

, .

Итак,

, т. е. получить в сумме 7 очков — более вероятное событие, чем получить в сумме 8 очков [14, 98].

Задача 1[5]. В урне лежат 5 красных, 12 белых и 9 синих шаров. Найти вероятность того, что: а) вынут белый шар; б) вынут красный шар; в) вынут синий шар; г) вынут цветной шар.

Обсуждение. В задаче имеется 5 + 12 + 9 = 26 равновозможных исходов. Поэтому вероятности равны:

а)

; б) ; в) .

На случае г) остановимся подробнее. Наверное, цветным шаром можно назвать красный или синий шар. Вынуть цветной шар можно одним из 5 + 9 = 14 способов. Таким образом, цветной шар можно достать

способами.

Задача 2 (двойное испытание). В урне 3 черных и 4 белых шара. Вы вынимаете один из них, кладете обратно, перемешиваете и вынимаете другой. Возможно одно из трех: 1) оба шара черные, 2) оба шара белые, 3) шары различных цветов. Каковы вероятности этих событий?

Обсуждение. Условно черным шарам дадим номера 1, 2, 3; белым — 4, 5, 6, 7. Пары букв показывают цвет двух вынутых шаров (левая буква относится к первому выниманию, правая — ко второму). Составим таблицу.

Òàáë. B

1(ч)	2(ч)	3(ч)	4(б)	5(б)	6(б)	7(б)
1(ч)	чч	чч	чч	чб	чб	чб	чб
2(ч)	чч	чч	чч	чб	чб	чб	чб
3(ч)	чч	чч	чч	чб	чб	чб	чб
4(б)	бч	бч	бч	бб	бб	бб	бб
5(б)	бч	бч	бч	бб	бб	бб	бб
6(б)	бч	бч	бч	бб	бб	бб	бб
7(б)	бч	бч	бч	бб	бб	бб	бб

Нетрудно подсчитать, что равновозможных исходов 49. Вероятность появления двух черных шаров равна

, двух белых — , шаров разных цветов — .

Задача 3. Найдите вероятности того, что при двойном испытании как в предыдущей задаче: а) вынут по крайней мере один черный шар; б) вынут хотя бы один белый шар; в) первым вынут черный шар; г) последним вынут белый шар.

Обсуждение. Для решения воспользуемся таблицей из предыдущей задачи. Вероятности равны: а)

; б) ; в) ; г) .

I. 4. О смысле формулы вероятности события

Мы вывели эту формулу с помощью некоторых утверждений. Можно ли утверждать, что мы ее доказали, как доказывают теоремы? Нет, конечно. Мы построили модель реального явления (вынимание шаров из урны). Модель подтверждается фактами и экспериментами. А с математической точки зрения формула есть определение вероятности. И эта формула связывает модель с реальным миром.

Задача 4. Брошены независимо друг от друга две правильные игральные кости. Найти вероятности того, что сумма очков на верхних гранях: а) меньше 9; б) больше 7; в) делится на 3; г) четна.

Обсуждение. При бросании двух костей имеется 36 равновозможных исходов, поскольку имеется 6´6 = 36 пар, в которых каждый элемент — целое число от 1 до 6. Составим таблицу (табл. 3), в которой слева число очков на первой кости, вверху — на второй, а на пересечении строки и столбца стоит их сумма.

Òàáë. C

1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Непосредственный подсчет показывает: вероятность того, что сумма очков на верхних гранях меньше 9, равна

; что эта сумма больше 7 — ; что она делится на 3: ; наконец, что она четна, .

Задача 5. В старинной индейской игре “Тонг” два игрока одновременно показывают друг другу либо один, либо два, либо три пальца на правой руке. Если для каждого игрока равновозможно показать 1, 2 или 3 пальца, то чему равна вероятность того, что общее число показанных пальцев четно? Нечетно? Больше четырех? Меньше двух?

Обсуждение. Составим таблицу, в которой номер строки — число пальцев, показанных первым игроком, номер столбца — число пальцев, показанных вторым игроком, а на пересечении строки и столбца стоит общее число показанных пальцев, т. е. сумма номеров строки и столбца.

Òàáë. D

1	2	3
1	2	3	4
2	3	4	5
3	4	5	6

Всего имеется 9 равновозможных исходов, соответствующих девяти элементам таблицы. Общее число показанных пальцев четно в 5 исходах, нечетно — в 4, больше четырех — в 3 исходах, меньше двух — ни в одном. Вероятности равны соответственно

, , , .