Структуризация и систематизация сюжетных задач по сложности их решения (стр. 2 из 2)

Рис. 7

Этот граф не является деревом, но его можно "расслоить" в лес (совокупность деревьев), каждое из которых описывает одну ситуацию (рис.8).

Рис. 8

Сложность леса в дальнейшем будем характеризовать как суммарную сложность деревьев, его составляющих:

 = (c1)+(c2) = 6+6 = 12; 1) c1 = a1·b, b = c1/a1; 2) c2 = a2·b, c2 = a2·c1/a1.

Назовем деревья I.1 - I.4 деревьями I порядка сложности. Систематизацию задач в систему (систематизация - мыслительная деятельность по установлению более удаленных отношений) рассмотрим на примерах получения деревьев более высоких порядков сложности.

Задача 3. Скорость мотоциклиста на 20 км/ч больше скорости велосипедиста. Найти скорость велосипедиста, если известно, что расстояние между двумя пунктами, равное 96 км, мотоциклист проезжает за 3 часа.

Моделью структуры решения задачи является дерево. В модели два отношения: отношение зависимости и отношение разностного сравнения (рис.9):

с км - расстояние между пунктами; a2 км/ч - скорость мотоциклиста; a1 км/ч - скорость велосипедиста; b ч - время. 1) c = a2·b, 2) a2 = a1+20, 3) c = (a1+20)·b, a1 = (c-20b)/b.  = 2·5+2·3 = 16.

Рис. 9

Задача 4. Из двух пунктов, расстояние между которыми 96 км, одновременно навстречу друг другу выехали велосипедист и мотоциклист и встретились через 2 ч. Найти их скорости, если скорость мотоциклиста в три раза больше, чем скорость велосипедиста.

Модель решения задачи приведена на рис.10.

Рис. 10

c, км - расстояние; b, ч - время; a1, км/ч - скорость велосипедиста; а2, км/ч - скорость мотоциклиста; 3 - размер кратного сравнения; а, км/ч - скорость сближения. 1. c = a·b; 2. a = a1+a2; 3. a2 = 3a1; 4. c = (a1+3a1)·b: c = 4a1·b; a1 = c/4b, a2 = 3c/4b;  = 2·7 + 2·5 + 2·3 = 30.

Мы привели только несколько примеров выявления структур решения задач и определения сложности их решения с помощью деревьев. Эти примеры позволяют сделать следующие выводы.

Если рассматривать задачу как сложную систему, то:

1. Моделью решения задачи является дерево.

2. Структура решения задачи - это соответствующее ей дерево или лес, которые строятся из деревьев I порядка.

3. Структурные элементы решения задачи - вершины дерева: значения величин, как известные, так и неизвестные, среди них и искомые; числа, которые задают размер кратного или разностного сравнения между двумя значениями одной величины.

4. Дерево I порядка описывает простейшие отношения между величинами: отношения-зависимости, отношения соединения (отнимания), отношения разностного или кратного сравнения.

5. Отношения, характерные для дерева I порядка, являются внутренними, так как они зависят только от самих соотносящихся объектов (значений величин).

6. В деревьях более высоких порядков реализуется несколько внутренних отношений.

7. Структура решения задачи - объективная ее характеристика, которая позволяет дать количественную оценку, являющуюся основой для систематизации задач в систему по нарастающей сложности их решения. Структурный анализ решения задач в учебниках VII класса показал, что наибольшая сложность решения  = 152, а наибольшее число задач приходится на сложность  = 32.

Список литературы

Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. М.: Наука, 1971.

Березина Л.Ю. Графы и их применение. М., 1979.

Фридман Л.М. Логико психологический анализ школьных учебных задач. М., 1977.

Уемов А.И. Системы и системные исследования // Проблемы методологии системного исследования. М., 1970.

Крупич В. И. Структура и логика процесса обучения математике в средней школе: Метод. разработки по спецкурсу для слушателей ФПК. - М., 1985.