К методике преподавания прикладной математики в военно-инженерном вузе (стр. 2 из 2)
 | (4) |
Теперь необходимо получить явный вид
. В смысле физического понимания процесса обслуживания и необходимой математической техники это наиболее сложная для курсанта промежуточная задача. Однако и для ее решения не требуется знаний, выходящих за пределы стандартного курса математики.Выделим из реального процесса (см. рис.1) последовательность интервалов
, т.е. интервалов, завершающихся отказом. Обозначим затем через 
плотность вероятности продолжительности безотказной работы узла при условии его отказа в интервале 
. Из определения математического ожидания  | (5) |
Выпишем условия, задающие
:  | (6) |
 | (7) |
- для любых
из .Условие (6) очевидно. Условие (7) может потребовать отдельного разъяснения: оно определяется тем, что поведение узла не зависит от того, какое подмножество реального процесса мы рассматриваем (рис.4).
Рис.4Определяя из (6) и (7) явный вид
, подставляя его в (5) и преобразуя, получаем  | (8) |
Мы получили явный вид
- средней продолжительности безотказной работы узла при условии его отказа в интервале . Подставляя (8) в (4) и преобразуя, получаем окончательно  | (9) |
Очевидно, что задачу 1 можно дополнить требованием указать возможные способы определения оптимального
, обеспечивающего при данных s1,s2 и 
минимум I . (например, из условия 
) Требование получить соответствующую расчетную формулу представляется здесь чрезмерным. Однако находится достаточно эффектный и, как нам представляется, методически результативный ход, позволяющий курсанту без больших технических затруднений "поверить" в полученный результат. Для этого можно ослабить одно из ограничений задачи 1:Задача 2.
Найти оптимальное значение
, обеспечивающее минимум средней интенсивности затрат I для случая s1=s2=s0.Решения задачи 2
Поскольку s0 - параметр задачи, а сумма интегралов числителя в (9) - тождественная единица, задача сводится к исследованию на минимум функции
 | (10) |
Достаточно, таким образом, решить относительно
уравнение  | (11) |
Поскольку (см. рис.2) знаменатель в (10) всегда положителен, для решения (11) достаточно знания основных правил дифференцирования и умения дифференцировать определенный интеграл по одному из его пределов. В результате (11) легко сводится к уравнению
т. е.
 | (12) |
где
- оптимальное значение .Мы "строго доказали" известный практический рецепт: лампочки заменяют по потребности [2]. Эта рекомендация, конечно, не нуждается в математическом обосновании - мы проверили здесь справедливость (9) в тривиальном случае s1=s2. Заметим, что из элементарных соображений можно легко получить и левую границу
:  | (13) |
Пример: при фиксированном s1 и монотонно возрастающем s2 цена последствий отказа рано или поздно становится неприемлемой ( на практике при s2>>s1 принимается
, а узел резервируется). Таким образом, (12) и (13) формализуют два крайних, но чрезвычайно распространенных варианта исследуемой стратегии обслуживания : "ждать до отказа" ( 
и "исключить отказ" 
.На последнем этапе курсовой работы полезно обсудить ее возможное развитие в реальную задачу обслуживания. Так, например, исходные данные необходимо по меньшей мере дополнить следующими: t1 - время плановой замены узла машины; t1 - время замены узла машины в случае отказа; s3 - стоимость единицы времени, в течение которого машина неисправна, т.е. не участвует в выполнении некоторой внешней задачи - например, перевозке грузов.
Список литературы
Бабичева И.В. Курсовая работа по математике в военно-инженерном вузе как средство обеспечения государственных образовательных стандартов: Материалы научно-практической конференции "Естественные науки в военном деле". Омск: ОТИИ, 1999.
Методика использования статистических данных о надежности машин / Академия бронетанковых войск. М., 1975.