(n −1) +(n −2)+ L + 2 + 1 = 45. (1)
До сих пор все рассуждения шли на русском языке, однако получившееся в результате выражение (1) выглядит как слово европейского языка, состоящее из 20 букв, расположенных в такой последовательности: (, n, -, 1,), + и т.д., и три последние буквы - это =, 4 и 5 (здесь многоточие мы считаем одной буквой). Часть слова, стоящая левее буквы =, является объектом, весьма популярным во времена Мальтуса - арифметической прогрессией. По известной формуле она может быть заменена другим словом, так что выражение (1) примет вид
2 " (2)
Полученное слово гораздо короче исходного, однако читается несколько странно: сначала горизонтально (n умножить на n — 1), потом вертикально (деленное на 2), а потом вновь горизонтально (равно 45). Не будем подробно описывать дальнейшие трансформации слов, а просто перечислим их, соединяя эквивалентные слова символом П, как это принято в математике:
Г«=-> (3)
(1) <s>(2) о n(n −1)=90<s>n2 − n − 90=0 о
n=10
Здесь мы покидаем символьную часть математического языка и вновь возвращаемся в область естественного русского языка. Последнее из символьных слов в последовательности (3) означает, что количество командных пунктов п равно либо отрицательному числу -9, либо натуральному числу 10. Поскольку количество командных пунктов не может быть отрицательным, у нас остается только одна возможность: n=10.
Мы привели подробный анализ решения задачи по той причине, что он выявляет следующее противоречие: применение междисциплинарного подхода к преподаванию математики чрезвычайно затруднено самой ее природой, хотя и представляется не только возможным, но и вполне естественным.
С одной стороны, для изложения системы математического знания приходится строить и использовать метаязык, в который русский язык входит в качестве составной части. Уже эта задача является весьма сложной, особенно если учесть, что символы и формулы математики составляют только лишь часть ее, причем не самую важную, сложную и трудную. Кроме того, при изучении математики студент и преподаватель работают над приобретением нескольких разнохарактерных умений: а) умением точно применять формальные правила, подчас весьма абстрактные, сложные и многошаговые; б) умением выбирать из длинного перечня известных правил именно то правило, которое необходимо для выполнения данного конкретного действия; в) умением строить последовательность применяемых правил, которая ведет к решению поставленной задачи. Подчеркнем, что второе и третье умения в принципе не могут быть формализованы. Они сродни практическому искусству и приобретаются только под влиянием хороших образцов и в процессе многочисленных упражнений. Как писал А. Пуанкаре, «творить - это отличать, выбирать» [11.С. 312]. (О природе математического творчества см. там же [11. С. 309-320].)
С другой стороны, очевидно, что рассмотренная задача не является собственно математической, а носит прикладной характер, так что междисциплинарный аспект математической деятельности по ее решению не вызывает сомнений. Кроме того, наличие лингвистического компонента решения задачи свидетельствует о полидисциплинарной природе самой математики.
2. Для математики характерны чрезвычайно длинные цепочки логических умозаключений.
Для примера сформулируем определение важного математического понятия - понятия группы: «Множество объектов с операцией умножения на нем называется группой, если для умножения справедлив сочетательный закон и разрешимы уравнения ax=b и ya=b». Нетрудно видеть, что это определение использует всего лишь 27 слов, включая предлоги, союзы и поэлементное прочтение формул, причем каждое из слов знакомо ученику начальной школы. В то же время логические следствия из него, представленные, например, в монографии А.Г. Куроша [8], занимают объем в 57 печатных листов. Кричащим примером является классификационная теорема о строении конечных простых групп, созданная усилиями интернационального «коллектива» алгебраистов нескольких поколений. По оценкам специалистов, ее формулировка и доказательство занимают около 5 тысяч страниц журнального текста. По этому поводу А.И. Кострикин в предисловии к книге [2.С. 7] пишет следующее: «Скорее всего, таинственные 5000 страниц сплошного, тщательно подготовленного текста никто не напишет, да и достоверность их в любом случае вышла бы за рамки обычных математических стандартов. Сила математики - в ее единстве, и кто знает, на каком пути и какими средствами будут даны убедительные, легко проверяемые аргументы в пользу выводов, полученных ценой 25-летних усилий».
Разумеется, столь яркое свойство математики находит свое естественное отражение в процессе ее преподавания. Применительно к начальной школе оно выражено в понятии укрупненной дидактической единицы (УДЕ) усвоения материала (см. П.М. Эрдниев [13.С. 4]). Мы опускаем детальный анализ этого понятия, поскольку он проводился разными авторами, начиная с его создателя. Для целей данной статьи важно указать на два аспекта: во-первых, УДЕ - это своего рода квант информации, т.е. такая порция информации, которая должна быть освоена учащимся единовременно; во-вторых, УДЕ - большое по объему и достаточно сложно структурированное образование. Применительно к высшей школе сформулируем третье свойство математики.
3. Для преподавания математики характерны чрезвычайно крупные дидактические единицы усвоения материала.
Если говорить о важнейших объектах, без которых не имело бы смысла изучать математику, то их определения зачастую весьма громоздки. Так, множество вещественных чисел описывается с помощью 17 аксиом, причем важнейшая из них - аксиома непрерывности - записывается с помощью одной импликации и пяти кванторов, расположенных в строго определенном порядке. Аксиоматика Вейля аффинного пространства, без которой не обходится ни один курс геометрии, представляет собой последовательность из 10 аксиом, 5 теорем и 5 определений. Аксиоматика Гильберта, которая была первым усовершенствованием древней аксиоматики Евклида, насчитывает 20 аксиом. Отметим, что речь идет о современных, совершенных и компактных изложениях В.А. Зорича, П.К. Ра-шевского и В.Т. Базылева.
В стандартных математических курсах нередки теоремы, доказательства которых занимают целую лекцию или несколько больше. Таковы, например, теорема о существовании корня многочлена с комплексными коэффициентами, теорема о существовании решения дифференциального уравнения первого порядка, классификация кривых второго порядка на евклидовой плоскости и целый ряд других. Отметим, что речь идет только лишь о доказательстве, т.к. вся подготовительная работа - математическая мотивировка, введение необходимой символики, формулировка теоремы и проч. - делается заранее.
Особо следует подчеркнуть, что преподаватель, как правило, не может уклониться ни от рассмотрения сложных определений, ни от проведения громоздких доказательств. В практике педагогического вуза такое уклонение невозможно или крайне нежелательно, поскольку упомянутые и подразумеваемые объекты дают научное обоснование основным линиям школьного курса математики. В практике университета без глубокого знания этих объектов невозможна эффективная подготовка исследователя. Если же говорить в общем плане, то неадекватные представления об объеме и сложности математических рассуждений существенно искажают представления о самой математике, даже при большом объеме изучаемого материала.
4. Многие проблемные ситуации, с необходимостью возникающие при развертывании перед студентами системы математического знания, образуют весьма узкое, по сравнению с гуманитарными дисциплинами, поле для студенческих дискуссий.
Достаточно часто для решения математического вопроса бывает необходимо понять, является ли данная функция непрерывной, является ли отображение групп изоморфизмом, равен ли нулю детерминант и т.п. Даже если читатель не знает, что такое непрерывность, изоморфизм или детерминант, понятно, что возможны только два ответа на каждый из поставленных вопросов - «да» или «нет».
Примером более широкого поля для дискуссий является соотношение между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Однако и здесь ясно, что существуют только четыре логические возможности: а) непрерывность и диф-ференцируемость никак не связаны между собой; б) непрерывность и дифферен-цируемость вытекают друг из друга; в) из непрерывности следует дифференцируе-мость, но обратное неверно; г) из диффе-ренцируемости следует непрерывность, но обратное неверно. В такой ситуации можно организовать дискуссию студентов, выслушать аргументы в поддержку каждой из возможностей или придумать какие-то иные формы активизации. Однако в данном конкретном случае это вряд ли целесообразно, поскольку ответ дает краткая, выразительная и важная теорема: «Дифференцируемая функция непрерывна. Обратное неверно». При этом доказательство ее весьма невелико и занимает три-четыре строки.
Учет вышеупомянутых свойств математики выявляет одно неочевидное обстоятельство: при ее изучении оказываются не вполне уместными, неприменимыми или трудно применимыми многие стандартные приемы активизации студентов. (Говоря несколько мягче, эти приемы требуют выработки специфических форм их применения.)