Прежде всего я хочу здесь отметить четкую определенность поставленной цели, желаемого и требуемого результата каждого математического задания. Если заданием служит сочинение исторического или литературного содержания, то нельзя указать момента, когда такое задание дефинитивно закончено выполнением — возможности дополнения и усовершенствования, систематических улучшений всякого рода здесь почти безграничны; с другой стороны, учащийся не чувствует себя здесь достаточно компетентным для авторитетной оценки своей работы: то, что ему представляется в его сочинении вполне удачным, может встретить совсем иную оценку со стороны учителя. Вся эта, по существу, для данного задания неизбежная неопределенность, расплывчатость в оценке законченности и качества проделанной работы должна, несомненно, оказывать некоторое расслабляющее влияние на волевое напряжение еще мало вышколенного молодого ума.
В математике дело обстоят иначе. Если заданием служит решение задачи или доказательство теоремы, то тем самым указывается с полной определенностью и тот момент, когда задание может считаться окончательно выполненным: когда решена задача или доказана теорема; все остальное — изложение найденного решения, правильность и аккуратность записи и т. п. — имеет и в глазах учителя, и в глазах ученика лишь второстепенное, не решающее значение. Равным образом и качество работы здесь оценивается с однозначной определенностью: задача должна быть решена верно, теорема должна быть доказана правильно. Проверить отсутствие логических ошибок в своем рассуждении ученик может и должен уметь сам; в случае задачи он знает даже определенные приемы проверки решения. Легко понять, какое стимулирующее влияние на упорство, настойчивость в достижении цели может оказать и действительно оказывает эта четкая определенность показателей результата. Победа здесь так же непосредственно ощутительна, как в шахматной партии или спортивном состязании, и сам учащийся может с такой же уверенностью зафиксировать и оценить свое достижение, как и его авторитетный учитель.
Вторая, значительно более глубокая и важная черта математических заданий, которую я хочу здесь отметить, состоит в присущем им в значительном большинстве случаев творческом характере. В то время как в большинстве других областей знания выполнение задания, за немногими исключениями, требует от учащегося лишь определенных знаний и навыков — в лучшем случае еще умения стройно и стилистически правильно излагать эти знания, — решение математической задачи, как правило, предполагает изобретение специально ведущего к поставленной цели рассуждения и тем самым становится — пусть весьма скромным — творческим актом. Именно этот творческий, исследовательский характер математических заданий более чем что-либо другое влечет к себе молодые силы растущего и крепнущего интеллекта учащегося. Тот, кто изведал благородную радость творческого достижения, никогда уже не пожалеет усилий, чтобы вновь ее испытать. Никакие трудности его не остановят, сила его порыва и устремления, его усидчивость и выдержка в преодолении препятствий будут крепнуть с каждым новым достижением, а неудачи, ошибки, временные крушения и поражения он научится встречать, как подобает истинному борцу, не опуская перед ними руки, а черпая в них источник и стимул для все новых и новых напряжений мысли и воли.
Воспитание патриотизма. Задача использования уроков математики для воспитания и укрепления в учащихся прочного чувства гордости за свою Родину и любви к ней имеет в себе специфическую трудность, очевидная причина которой заложена в абстрактном характере математической науки. Надо сказать прямо, что непосредственно, своим собственным материалом и содержанием математика в силу этой причины вообще не может служить орудием пропаганды чего-либо столь конкретного, как красота и величие родной страны. Здесь она с естественной скромностью вынуждена уступить место другим наукам.
Однако на уроках математики ученик вовсе не все время сосредоточивается на ее абстрактной сущности; абстрактные схемы математики непрестанно, почти на каждом уроке оснащаются, дополняются и иллюстрируются весьма различным конкретным содержанием, сюда входит содержательный материал "текстовых" задач, исторические сведения, различного рода приложения и т. п. При этом во многих случаях выбор конкретного оснащения в весьма широких пределах может быть варьирован, и таким образом в значительной степени ставится на усмотрение преподающего. Очевидно, такой произвол может быть широко использован учителем для фиксирования внимания учащихся на фактах и цифрах, поддерживающих и укрепляющих уважение и любовь к Отечеству. У нас неоднократно писалось уже о подборе патриотически направленного материала текстовых задач. Против этого приема ничего нельзя возразить; надо только тщательно продумать выбираемый материал, чтобы избежать опошления, вульгаризации самой патриотической идеи, как это бывает, когда конкретное содержание задачи мало естественно, "притянуто за волосы", или когда задача, сообщая достаточно интересные цифры и факты, ставит по поводу них такой вопрос, который явно не имеет ни непосредственного интереса, ни какого-либо практического значения. Вместе с тем надо, конечно, отчетливо представлять себе, что весь этот прием является чисто внешним, для развития патриотических чувств здесь используются уроки математики, но никак не самая математика.
Значительно теснее связан с самой математической наукой прием, состоящий в придании патриотической направленности целому ряду исторических сведений. Этот прием, помимо впечатляющей силы воздействия, особенно ценен еще тем, что он значительно повышает интерес учащихся к истории математической науки, а во многих случаях дает повод и возможность эффективным образом ознакомить учащихся с математическими фактами, выходящими за пределы официальной программы и счастливым образом ее дополняющими. Так как по этому вопросу у нас почти ничего не писалось, то я здесь остановлюсь на нем несколько подробнее.
История русской и советской математики богата фактами, знакомство с которыми, в особенности на фоне правильной исторической перспективы, способно возбуждать в нас законную радостную гордость. И среди этих фактов есть немало таких, понимание которых доступно учащимся средней школы в достаточной мере для того, чтобы они могли оценить их принципиальное или практическое значение. Нужно только, чтобы сам учитель был хорошо осведомлен как об этих фактах, так и об их роли и месте в науке, а также и о той научно-исторической обстановке, в которой они возникали и развивались. Нужно, кроме того, конечно, уметь рассказать учащимся об этих фактах так, чтобы возбудить их живой интерес и извлечь максимальный эффект как для их математического развития, так и для воспитания в них здорового чувства национальной гордости.
Хорошо известно, что для всего этого очень продуктивно могут быть использованы научные идеи нашего великого соотечественника Н. И. Лобачевского и научная судьба его идеи. В своей основе великий геометрический замысел Лобачевского вполне доступен школьникам старших классов, а проведенная с надлежащим тактом беседа о нем может много содействовать, с одной стороны, пониманию основной для современной математики идеи аксиоматического мышления, а с другой — глубокому уважению как к научному гению Лобачевского, так и к его замечательной теоретической стойкости — великой силе убеждения, позволившей ему творить в одиночестве, без общественного признания, в научно-враждебной атмосфере.
Значительно менее известны у нас творения другого нашего великого ученого П. Л. Чебышева. А между тем научный облик его не менее импозантен, чем фигура Лобачевского. И кое-что о нем с большой и многосторонней пользой может быть рассказано и школьникам. Чебышев принадлежал к числу тех немногих ученых самого высокого ранга, которые на протяжении своей жизни работают в довольно многих, часто весьма удаленных друг от друга областях математики, в каждой из этих областей прокладывая совершенно новые пути, по которым затем в течение многих десятилетий идут их последователи. Великий дух новаторства был присущ Чебышеву не в меньшей степени, чем Лобачевскому. В теории чисел, теории вероятностей, теория механизмов и теории аппроксимации функций он создал мощные новые методы и сделался родоначальником большого числа научных школ в России и за границей. Замечательные идеи его далеко не исчерпаны и до настоящего времени.
Для учащихся средней школы особенно доступны и поучительны достижения Чебышева в теории чисел. Теорему Евклида о существовании бесконечного множества простых чисел знают все. Очень полезно выписать с учащимися таблицу простых чисел хотя бы до 100 и обратить их внимание на видимое отсутствие закономерности в расположении этих чисел. Затем рассказать о том, как задача о закономерностях в чередовании простых чисел была и остается одной из центральных проблем арифметики. Стоит привести (без доказательства) вполне понятный школьникам и способный вызвать в них интерес результат Эйлера p(n)/n Ю 0 (1/n Ю 0). В самых общих чертах можно затем коснуться асимптотических результатов Чебышева, обязательно давая историческую картину тех значительных усилий, которые до Чебышева были посвящены этой задаче. Конкретно же очень стоит остановиться на элементарном постулате Бертрана, проверить его на ряде примеров и тем возбудить интерес к нему со стороны учащихся. Позднее можно разобрать и какое-либо из его элементарных доказательств, хотя бы в порядке кружковой работы.
Очень советую обратить внимание учащихся на следующий замечательный исторический факт. Арифметика и геометрия — два старейших и важнейших раздела математической науки, и в обоих в течение ряда столетии наука в значительной степени питалась творениями Евклида; центральные проблемы этих двух основных ветвей математики — теория параллельных в геометрии и задача о распределении простых чисел в арифметике — в течение многих веков не поддавались сколько-нибудь заметно многочисленным усилиям целых поколений ученых.