И вот, в XIX столетии, обе проблемы были сдвинуты, наконец, с мертвой точки. В геометрии это сделал русский математик Лобачевский, в арифметике — русский математик Чебышев. Оба они проложили, каждый в своей области, совершенно новые пути, по которым наука успешно развивается до настоящего времени. Нет сомнения, что эти великие исторические скачки — Евклид — Лобачевский и Евклид — Чебышев — должны импонировать молодым умам, которые в известной мере уже способны оценить их значение.
Заинтересовав учащихся вопросами распределения простых чисел, учитель имеет совершенно естественный повод рассказать им о знаменитой гипотезе Гольдбаха. Очень стоит проверить ее в классе в пределах хотя бы чисел первой сотни. Затем, конечно без всяких доказательств, сообщить о блестящих достижениях советского академика И. М. Виноградова (его основной результат в направлении проблемы Гольдбаха, разумеется, вполне доступен учащимся по своему содержанию).
Заключение
1. Я сознательно полностью оставил в стороне важнейший для темы настоящей статьи вопрос о значении уроков математики для формирования мировоззрения учащихся. Я сделал это по той же причине, по какой в свое время отказался от рассмотрения вопроса об использовании уроков математики для воспитания навыков диалектического мышления: ознакомление с идеями и методами математической науки имеет фундаментальное мировоззренческое значение, но львиная доля воспитательного эффекта в этом направлении принадлежит математике переменных величин, так называемой высшей математике, с которой, по выражению Энгельса, в математику входит диалектика и которая, к сожалению, все еще почти целиком остается за бортом наших школьных программ. Поистине не стоит при этих условиях говорить о влиянии на формирование мировоззрения той диалектически худосочной части математической науки, которая в настоящее время находит себе приют в нашем школьном преподавании. О тех же мощных сдвигах, направляющих и формирующих мировоззрение, которые может произвести и фактически часто производит изучение высшей математики, можно сказать очень много, и я собираюсь говорить о них в моей будущей статье, о которой я уже упоминал.
2. В этой статье я не касался методических вопросов. Я говорил только о том, какие особенности математической науки и для воспитания каких именно качеств интеллекта или моральной личности учащегося могут и должны быть использованы, но нигде не касался вопроса о том, как это может быть сделано. Мой опыт говорит мне, что это обстоятельство может вызвать недовольство в некоторых кругах читателей; вероятно, я не гарантирован от набивших уже оскомину упреков в том, что моя статья "ничего не дает учителю" и советов "повернуться лицом" и т. д. Поэтому я считаю необходимым сделать по этому поводу следующее краткое разъяснение.
1) Я считаю, что составление сколько-нибудь детальных методических указаний по рассматриваемым мною в настоящей статье вопросам действительно совершенно излишне. Сколько-нибудь заметный воспитательный эффект уроки математики (как и всякой другой науки) могут дать только при том условии, что учитель, во-первых, достаточно хорошо знает свою науку, ее методологию и ее историю, во-вторых, имеет достаточный педагогический такт и опыт и, наконец, в-третьих, сам обладает в достаточной мере всеми теми качествами, которые он собирается воспитывать в своих учениках. Учителю, который сам не умеет мыслить абсолютно отчетливо, никакие методические шпаргалки не помогут воспитать ясность мысли в учащихся; или еще: какая методика поможет учителю сделать своих учеников горячими патриотами, если сам он любит свою Родину вяло и с прохладцей?
И напротив, если учитель стоит на высоте своей задачи, если он в полной мере обладает всеми перечисленными выше качествами, то никакие методические разработки по воспитательным вопросам ему заведомо не нужны: в каждом отдельном случае он с легкостью и непринужденностью сам найдет наиболее эффективный путь к поставленной цели. Навязывание ему определенной конкретной методики было бы для такого учителя только помехой в работе.
2) Если, таким образом, я считаю составление детальных методических указаний по затронутым мною вопросам практически бесцельным, то может быть было бы полезно все же дать по ним ряд общих методических советов; я думаю, что было бы хорошо, если бы моя статья побудила кого-либо из наших лучших учителей-методистов высказаться по этому вопросу и сделать достоянием младших товарищей некоторые общие выводы из своего опыта. В этом они во всяком случае компетентнее меня, и здесь я со всей необходимой скромностью должен уступить им слово.
3. Наконец, я хочу попытаться заранее оградить себя еще от одного рода упреков, которые я предвижу и которые обычно бывают основаны на недоразумении. Так как я говорил о воспитательном эффекте уроков математики, то мне, естественно, пришлось перечислять одну за другой именно те черты математической науки, которые в воспитательном отношении дают ей то или другое преимущество перед другими дисциплинами. В этом ведь и состояла моя задача. Но когда поступаешь таким образом, то у недостаточно вдумчивого читателя создается впечатление, будто бы ты поставил своей целью превознесение математики над всеми другими науками и вся твоя статья сплошь утверждает, что единственно подлинная наука есть именно математика, все же другие дисциплины страдают теми или другими изъянами и науками могут быть названы лишь с известной оговоркой. Уважаемые коллеги — представители других наук — начинают чувствовать себя несправедливо обиженными и подвергают твою работу яростной критике, доказывая, что другие науки ничуть не хуже и что всеми преимуществами, которыми в моем представлении монопольно обладает математика, на самом деле в такой же мере наделены и все прочие дисциплины.
С первым пунктом этого заявления я целиком и полностью согласен: другие науки действительно ничем не хуже математики; более того, представители этих других наук обычно вызывают во мне глубочайшее уважение тем, что творят великие ценности в таких областях, в которых творчество, на мой взгляд, неимоверно трудно, гораздо труднее, чем в математике. Но ведь в моей статье я нигде ни разу не называю математику лучшей из наук! Напротив, я несколько раз со всею скромностью подчеркиваю, что как орудие воспитания математика прежде всего отмечена такой особенностью, значение которой для данной цели очевидным образом отрицательно, — она абстрактна, предметом ее служат не сами вещи и явления реального мира, а лишь абстрагированные от них количественные отношения и пространственные формы. Это обстоятельство, как я несколько раз подчеркиваю в своей статье, делает для математики воспитательную задачу значительно труднее, чем для других школьных дисциплин. Но зато математика в некоторых других отношениях отмечена такими чертами, которые создают ей воспитательные возможности более значительные, чем у этих других дисциплин. И то, что я в своей работе соответственно моей задаче сосредоточиваю внимание читателя именно на этик чертах, никак не может, конечно, означать какого-либо гипостазирования математики, превознесения ее выше всех других наук.
Я отдаю математической науке лишь то, что ей принадлежит по праву, с полной откровенностью признавая и те ее черты, которые в отношении к данной цели составляют ее слабость. Но за те преимущества, которые я ей приписываю, я уж действительно готов драться до конца. И если уважаемые коллеги пожелают утверждать, что та или другая конкретная черта, по моему утверждению монопольно или преимущественно присущая математике, на самом деле является в такой же мере достоянием и всех других научных дисциплин, то здесь я где угодно и когда угодно готов держать ответ в полной уверенности, что смогу отстоять правильность моего утверждения перед любым компетентным и беспристрастным судом.