Хинчин А.Я.
Александр Яковлевич Хинчин (1894 - 1959) — математик, член-корреспондент АН СССР. Многим поколениям советских школьников и студентов хорошо знакома его книга "Восемь лекций по математическому анализу". Воспроизведенная ниже статья была напечатана в сборнике «Математическое просвещение» (М., 1961, вып. 6) и переиздана в сборнике: А.Я. Хинчин, «Педагогические статьи» (М.: изд. АПН РСФСР, 1963, с. 128-160).
Математика в отличие от большинства других преподаваемых в школе дисциплин имеет предметом своего изучения не непосредственно вещи, составляющие окружающий нас внешний мир, а количественные отношения и пространственные формы, свойственные этим вещам. Этой особенностью математической науки в первую очередь объясняются те хорошо известные методические трудности, которые неизбежно встают перед преподавателем математики и которых почти не знают преподаватели других наук: перед учителем математики стоит нелегкая задача — преодолеть в сознании учеников возникающее со стихийной неизбежностью представление о "сухости", формальном характере, оторванности этой науки от жизни и практики. Об этом написано много ценного и полезного, и мы хорошо знаем, как справляются с этой задачей лучшие мастера нашей школы.
Но этой же особенностью математической науки в значительной мере объясняется и специфика задач, встающих перед учителем математики, который хочет использовать преподавание своей науки в воспитательных целях. Ясно, что и здесь стоящая перед ним задача труднее, чем в случае большинства других наук. Ибо научная дисциплина, занятая изучением не самих вещей, а лишь отношений между ними и потому необходимо требующая поднятия на некоторую ступень абстракции, — такая дисциплина, очевидно, лишь в редких случаях способна давать учителю повод к эффективному воздействию на формирование характера и мировоззрения учащихся, на регулирование их поведения.
То немногое, что написано по этому поводу, в основном не вызывает возражений. Дело сводится обычно к двум рычагам воспитательного воздействия: с одной стороны, говорится, что специфическая для математики логическая строгость и стройность умозаключений призваны воспитывать в учащихся общую логическую культуру мышления; с другой — указывается, что предметно-содержательное оснащение математических задач при надлежащем его выборе дает широкий простор для сообщения цифр и данных, способных значительно расширить кругозор учащихся, поднять их общий культурный уровень.
Все это бесспорно верно. Я думаю, однако, что это далеко не все. Прежде всего, здесь совершенно не затрагиваются важнейшие задачи морального воспитания, для которых, как мне кажется, уроки математики дают весьма ощутимые возможности. Далее, важная задача воспитания логической культуры мышления, которой обычно уделяется много внимания, тем не менее трактуется в большинстве случаев трафаретно, поверхностно и недостаточно расчлененно; приводимые примеры часто не выходят за рамки вульгарного шаблона и поэтому очень мало эффективны. Наконец, воспитывающее воздействие данных, приводимых в "текстовых" задачах, хотя и должно, конечно, всемерно быть использовано, но с математическим содержанием урока связано, очевидно, лишь весьма внешним образом; ясно, что здесь воспитывающее влияние призвана оказывать не сама математика, не ее законы и ее стиль, а те привязанные к ней чисто внешним образом данные, которые обрамляют собою "текстовые" задачи и которые без всякого изменения математического содержания задачи могли бы быть заменены любыми другими аналогичными данными. Ясно поэтому, что этот рычаг воспитывающего воздействия, будучи важным и действенным, не может считаться в прямом смысле принадлежащим самой преподаваемой в школе математической науке.
Все приведенные соображения показывают, что вопрос о воспитательном значении уроков математики у нас разработан еще далеко недостаточно. Предлагаемая статья ставит целью несколько продвинуть этот вопрос. Для этого я в дальнейшем кратко рассмотрю ряд моментов, которые, насколько я могу судить, при изыскании возможностей воспитательного влияния уроков математики до сих пор либо совсем оставлялись без внимания, либо рассматривались лишь весьма поверхностно.
I. Культура мысли
Правильность мышления. Роль и значение математики в воспитании навыков закономерного и безошибочного мышления всеми признаны в такой мере, что нередко приходится встречаться с утверждениями, будто приучение к строгому в логическом отношении ходу мыслей есть первая и основная задача учителя математики, так что в сравнении с нею даже ознакомление учащихся с самим содержанием математической науки отодвигается на второй план (что несомненно следует признать уже вредным перегибом). Однако как раз потому, что эта воспитательная функция уроков математики приобрела характер банальности, именно в этом направлении мы слышим много высказываний, приводим по готовому трафарету, без достаточного обдумывания. В результате внимание сосредотачивается на небольшом числе привычных (а подчас и набивших оскомину), хотя и важных, но по своему значению частных и узких вопросов, вроде пресловутого различения между прямыми и обратными теоремами. Между тем остаются в тени вопросы более общего принципиального значения.
Я думаю, что основным общим моментом воспитательной функции математического образования — моментом, который в значительной степени обусловливает собою все остальное, — служит приучение воспитываемых к полноценности аргументации.
В обыденной жизни, даже в "любительских" (не строго научных) принципиальных спорах, мы, защищая какое-либо утверждение, довольствуемся обычно одним-двумя аргументами, говорящими в его пользу. Противник может привести в ответ несколько аргументов, говорящих против нашего утверждения. Однако обычно ни та, ни другая аргументация не бывает исчерпывающей; противники продолжают изыскивать новые аргументы, каждый в пользу своей точки зрения, и спор продолжается.
Примерно так же протекают и научные дискуссии в тех областях знания, которые не входят в число так называемых точных наук; конечно, аргументация здесь бывает, как правило, более полной, чем в обыденных спорах; но почти никогда не удается сделать ее исчерпывающей, не допускающей никаких возражений и тем самым ликвидирующей самую дискуссию.
Иначе обстоит дело в математике. Здесь аргументация, не обладающая характером полной, абсолютной исчерпанности, оставляющая хотя бы малейшую возможность обоснованного возражения, беспощадно признается ошибочной и отбрасывается как лишенная какой бы то ни было силы. В математике нет и не может быть "наполовину доказанных" и "почти доказанных" утверждений: либо полноценность аргументации такова, что никакие споры о правильности доказываемого утверждения более невозможны, либо аргументация вообще полностью отсутствует.
Изучая математику, школьник впервые в своей жизни встречает столь высокую требовательность к полноценности аргументации. Вначале она удивляет, отталкивает, пугает его, кажется ему излишней, сверхмерной, педантичной. Но постепенно, день за днем, он к ней привыкает. Хороший учитель много может сделать для того, чтобы этот процесс протекал и быстрее, и продуктивнее. Он приучит своих учеников к взаимной критике; когда один из них что-либо доказывает или решает какую-либо задачу перед всем классом, все остальные должны напряженно искать возможных возражений и немедленно их высказывать. Ученик, который "отобьется" от таких возражений, заставит умолкнуть всех своих критиков, неизбежно испытает законную радость победы. Вместе с тем он ясно почувствует, что именно логическая полноценность аргументации была тем оружием, которое дало ему эту победу. А раз почувствовав это, он неизбежно научится уважать это оружие, постарается, чтобы оно всегда было при нем. И конечно, не только в математических, но и в любых других дискуссиях он все больше и настойчивее будет стремиться к полноценности аргументации. Каждый раз перед ним будет вставать задача — по возможности обезоружить своих противников, в полной мере используя весь запас аргументов, какие вообще возможны в данной ситуации.
Этот воспитывающий процесс имеет решающее значение для логической культуры мышления, в особенности если учесть, что учащийся привыкает быть беспощадно требовательным к полноценности аргументации не только в споре, но и в своем собственном мышлении. Процесс этот протекает повседневно на наших глазах у многих тысяч школьников. Он неизбежно возникает и идет своим путем без нашего специального вмешательства, но это не значит, что мы вправе пустить его на самотек; в нашей власти сделать его и более быстрым, и более полным по богатству и прочности достижений; а раз мы можем, то мы и должны это делать; вопрос о том, какими приемами наиболее эффективно можно добиться этих целей, есть уже методическая задача, которую мы не имеем возможности рассматривать здесь детально.
Общий принцип борьбы за полноценность аргументации получает в ходе интеллектуального развития учащегося целый ряд типичных по своей форме конкретных разновидностей, важнейшие из которых мы теперь перечислим.
1. Борьба против незаконных обобщений. Натуралист, подметив наличие какого-либо свойства (признака) у ряда особей данного вида, с чистой научной совестью объявляет этот признак общим для всего рассматриваемого вида, и никто не упрекнет его за это: такого рода индуктивные заключения представляют собою один из основных методологических стержней естественных наук. Конечно, и в этих науках координирующая и осмысливающая теоретическая мысль возможна н необходима; но как исходным пунктом, так и решающей проверкой всякого заключения здесь всегда остаются наблюдение и опыт, осуществляемые над отдельными экземплярами.
В математике дело обстоит принципиально иначе. Если мы обнаружили, что несколько десятков (или хотя бы и несколько миллионов) наудачу выбранных нами треугольников обладают каким-нибудь свойством, мы еще не вправе признать это свойство принадлежащим всем треугольникам. Такое заключение было бы не до конца обоснованным, а в математической науке все, что обосновано до конца, расценивается как абсолютно необоснованное. Только исчерпывающее общее доказательство может дать уверенность в том, что данный признак действительно является общим свойством всех треугольников.