Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре (стр. 3 из 4)

e^p_mn = U^p_mn - U_mn

между сеточной функцией U^p = {U^p_mn}и точным решением U = {U_mn}задачи (1).

Решение {U_mn}задачи (1) удовлетворяет уравнениям:

U^p_mn - U_mn = L_xxU_mn - j(x_m,y_n)

t

U_mn|г = Y(s_mn)

U⁰_mn = U_mn

Вычитая эти равенства из (4) почленно, получим для погрешности e^p_mnследующую разностную задачу:

e^p+1_mn - e^p_mn = L_xxe^p_mn + L_yye^p_mn

t

e^p+1_mn|г = 0 (9)

e⁰_mn = Y₀(x_m,y_n) - U_mn

Сеточная функция e^p_mn при каждом p(p=0,1,...) обращается в ноль на границе Г.

Метод переменных направлений

Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности:

dU = LU + f(x,t) , xÎG₀₂ , tÎ[0,t₀]

dt

U|г = m(x,t) (1)

U(x,0) = U₀(x)

LU = LU = (L₁ +L₂)U , где L_aU = d²U , a=1,2

dx²

Область G_0a =G₀ = {0<= x_a <=l_a , a=1,2} -прямоугольник со сторонами l₁и l₂, Г - граница G₀ = G₀ + Г.

В G₀построили равномерную по xa сетку v_hс шагами h₁ = l₁/N₁ , h₂ = l2/N₂.Пустьn_h - граница сеточной области w_h, содержащая все узлы на сторонах прямоугольника, кроме его вершин, v_h = w_h + n_h.

Оператор L_a заменим разностным оператором L_a:

L_ay = yx_ax_a , L = L₁ + L₂

В случае одномерного уравнения теплопроводности неявная схема на каждом слое приводит к разностной краевой задаче вида:

A_iy_i-1 - C_iy_i + B_iy_i+1 = -F , i=1,...,N-1

y₀=m₁ (2)

y_n=m_N

A_i > 0, B_i > 0, C_i> A_i + B_i

которая решается методом прогонки.

Рассмотрим теперь нашу двимерную задачу в прямоугольнике. Сетку v_hможно представить как совокупность узлов, расположенных на строках i₂=0,1,2,...,N₂, или как совокупность узлов расположенных на столбцах i₁=1,2,...,N₁. Всего имеется N₁+1столбцов и N₂+1строк. Число узлов в каждой строке равно N₁+1, а в каждом столбце N₂+1 - узлов.

Если на каждой строке (или столбце) решать задачу вида (2) методом прогонки при фиксированом i₂(или i₁), то для отыскания решения на всех строках (или столбцах), т.е. во всех узлах сетки, понадобится О(N₁N₂)арифметических действий. Основная идея большинства экономичных методов и состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению одномерных задач вида (2) вдоль строк и вдоль столбцов.

Наряду с основными значениями искомой сеточной функции y(x,t), т.е. сy = yⁿи y` = yⁿ⁺¹вводится промежуточное значение y = y^n+½, которое можно формально рассматривать как значение при t = t_n+½ = t_n+½. Переход от слоя nна слойn+1 совершается в два этапа с шагами 0.5t .

y^n+½ - yⁿ = L₁y^n+½ + L₂yⁿ + jⁿ (3)

0.5t

yⁿ⁺¹ - y^n+½ = L₁y^n+½ + L₂yⁿ⁺¹ + jⁿ (4)

0.5t

Эти уравнения пишутся во всех внутренних узлах x = x_iсетки v_h и для всех t=t_h > 0.

Первая схема неявная по направлению х₁ и явная по х₂, вторая схема явная по х₁ и неявная по х₂. К уравнениям (3),(4) надо добавить начальные условия:

y(x,0) = U₀(x) , xÎv_h (5)

и разностно краевые условия, например, в виде:

yⁿ⁺¹ = mⁿ⁺¹приi₁=0, i₂=N₂ (6)

y^n+½ = mпри i₁=0, i₂=N₁ (7)

где m = 1 (mⁿ⁺¹ + mⁿ) - t L₂(mⁿ⁺¹ - mⁿ) (8)

2 4

Т.о. , разностная краевая задача (3)-(8) соответствует задаче (1). Остановимся на методе решения этой задачи. Пререпишем (3) и (4) в виде:

2 y - L₁ y = F , F = 2 y + L₂ y + j

t t (9)

2y` - L<sub>2</sub> y` = F’ , F = 2 y + L₁ y + j

t t

Введём обозначения:

x_i = (i₁h₁ , i₂h₂)

F = F_i1,i2

y = y_i1,i2

при этом, если в уравнении один из индексов фиксирован, то его не пишем. Тогда (9) можно записать в виде (2), т.е.:

1 y_i1-1 - 2 1 + 1 y_i1 + 1 y_i1+1 = - F_i1

h²₁ h²₁t h²₁

i1 = 1,...,N₁-1 (10)

y =mпри i1 = 0,N₁

1

y`<sub>i2-1</sub> - 2 1 + 1 y`_i2 + 1 y`_i2+1 = - F_i2

h²₂ h²₂t h²₂

i2 = 1,...,N₂-1 (11)

y` = m` при i2 = 0,N₂

Пусть задано у=уⁿ. Тогда вычисляем òF, затем методом прогонки вдоль строк i₂=1,...,N₂-1решаем задачу (10) и определим y’ во всех узлах сеткиw_h, после чего вычисляем Fи решаем задачу (11) вдоль столбцов i₁=1,...,N₁-1, определяя y`=yⁿ⁺¹. При переходе от слоя n+1к слоюn+2 процедура повторяется, т.е. происходит всё время чередование направлений.

Построение разностных схем

Для каждой области МДП - структуры построим консервативную разностную схему, учитывая при этом заданные условия.

Разобьём данную МДП - структуру на несколько областей следующим образом:

L M N

y

K₀

K₁

x

I : j_k0,y = U_n

t. j^k+½_i-1,y + 1 + t + t . j^k+½_ij - t. j^k+½_i+1y = Y_ij

2h^*_ih_i 2h^*_ih_i+1 2h^*_i2h_i 2h^*_ih_i+1

j_k1,y = U_n

гдеY_ij = j^k_ij + t(L_yj^k_ij + f^k_ij )

2